Список статей

Мы в социальных сетях

       

Поиск частного решения линейного неоднородного дифференциального

Как искать частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

В этой статье рассматриваются методы подбора частного решения для дифференциального уравнения вида: \(y''+p(x)\cdot y'+q(x)\cdot y=f(x)\). Для успешного решения данного уравнения могут понадобиться таблица производных и тригонометрические формулы.

I Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, отличных от нуля

Ниже приведены возможные функции в правой части \(f(x)\) дифференциального уравнения:

  1. \(f(x) = C\), где \(C = const\) и не равна \(0 \Rightarrow \check{y} = A\)
  2. \(f(x) = C_{1}\cdot x + C_{2} \Rightarrow \check{y} = A\cdot x+B\)
  3. \(f(x) = C_{1}\cdot x^{2}+C_{2}\cdot x, \Rightarrow \check{y} = A\cdot x^{2} + B\cdot x+C\)
  4. \(f(x) = C_{1}\cdot x^{3}+C_{2}\cdot x^{2} + C_{3}\cdot x, \Rightarrow \check{y} = A\cdot x^{3}+B\cdot x^{2}+C\cdot x+D\)
  5. \(f(x) = C_{1}\cdot e^{C_{2}\cdot x} \Rightarrow\) Если коэффициент \(C_{2}\) (в показателе экспоненты) не совпадает с корнем характерестического уравнения \(\Rightarrow\)
    \(\check{y} = A\cdot e^{C_{2}\cdot x}\)
  6. \(f(x) = (C_{1}\cdot x + C_{2})\cdot e^{C_{3}\cdot x} \Rightarrow\) Если коэффициент \(C_{3}\) (в показателе экспоненты) не совпадает с корнем характерестического уравнения \(\Rightarrow \check{y} = (A\cdot x + B)\cdot e^{C_{3}\cdot x}\)
  7. \(f(x) = C_{1}\cdot e^{C_{2}\cdot x} \Rightarrow\) Если коэффициент \(C_{2}\) совпадает с корнем характерестического уравнения \(\Rightarrow \check{y} = A\cdot x\cdot e^{C_{2}\cdot x}\)
  8. \(f(x) = (C_{1}\cdot x + C_{2})\cdot e^{C_{3}\cdot x} \Rightarrow\) Если коэффициент \(C_{3}\) совпадает с корнем характерестического уравнения
    \(\Rightarrow \check{y} = (A\cdot x^{2} + B\cdot x)\cdot e^{C_{3}\cdot x}\)
  9. \(f(x) = C_{1}\cdot \sin(x\cdot C_{2}) + C_{3}\cdot \cos(x\cdot C_{4}) \Rightarrow\)
    \( \check{y} = A\cdot \sin(x\cdot C_{2}) + B\cdot \cos(x\cdot C_{4})\)
  10. \(f(x) = C_{1}\cdot e^{C_{2}\cdot x}\cdot(C_{3}\cdot \sin(x\cdot C_{4}) + C_{5}\cdot \cos(x\cdot C_{6})) \Rightarrow\)
    \( A\cdot e^{B\cdot x}(C\cdot \sin(x\cdot C_{4}) + E\cdot \cos(x\cdot C_{6}))\)
  • Замечание 1: В случае, когда в правой части \(f(x)\) расположен неполный многочлен, частное решение подбирается без пропусков степеней
  • Замечание 2: Любой член в \(f(x)\) может быть отрицательным

II Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня, один из которых – нуль

Если в правой части уравнения находится константа (\C \neq 0\) или многочлен, а так же один из корней характеристического уравнения – нуль, то подобраное частное решение необходимо домножить на \(x\).

  1. \(f(x) = C_{1} \Rightarrow \check{y} = A\cdot x\)
  2. \(f(x) = C_{1}\cdot x \Rightarrow \check{y} = x\cdot(A\cdot x + B)\)
  3. \(f(x) = C_{1}\cdot x^2 \Rightarrow \check{y} = x\cdot(A\cdot x^{2} + B\cdot x + C)\)

Если в правой части стоит экспонента (возможно домноженная на многочлен), то подбор осуществляется аналогично пунктам \(5-8\):

  1. \(f(x) = (x+2)\cdot e^{C_{1}\cdot x} \Rightarrow \check{y} = (A\cdot x + B)\cdot e^{C_{1}\cdot x}\) – если корень уравнения не совпал с коэффициентом в показателе экспоненты
  2. \(f(x) = (x+2)\cdot e^{C_{1}\cdot x} \Rightarrow \check{y} = x\cdot (A\cdot x + B)\cdot e^{C_{1}\cdot x}\) – если корень уравнения совпал с коэффициентом в показателе экспоненты

III Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня

Если правая часть уравнения – константа (не \(0\)) или многочлен, подбор осуществляется аналогично пунктам \(1-4\)

  1. \(f(x) = C_{1}\cdot e^{C_{2}\cdot x} \Rightarrow\) если корень уравнения совпал с коэффициентом в показателе экспоненты:
    \(\check{y} = A\cdot x^{2}\cdot e^{C_{2}\cdot x}\)
  2. \(f(x) = C_{1}\cdot e^{C_{2}\cdot x} \Rightarrow\) если корень уравнения не совпал с коэффициентом в показателе экспоненты:
    \(\check{y} = A\cdot e^{B\cdot x}\)
  3. \(f(x) = (C_{1}\cdot x + C_{2})\cdot e^{C_{3}\cdot x} \Rightarrow\) если корень уравнения совпал с коэффициентом в показателе экспоненты, то следует умножить на \(x^{2}\) выражение:
    \(\check{y} = (A\cdot x + B)\cdot e^{C_{3}\cdot x}\))

Остальные случаи решаются стандартным подбором, уже описаным выше

IV Характеристическое уравнение имеет два комплексных, сопряженных корня

Рассмотрим случай, когда имеется два комплексных корня \(\alpha \pm i\cdot \beta\) и \(\alpha \neq 0, \beta \neq 0\). Подбор осуществляется обычным образом, как в предыдущих частях, исключение составляют нижеизложенные случаи.

  • \(f(x) = C_{1}\cdot e^{C_{2}\cdot x}\cdot \sin(C_{3}\cdot x) \Rightarrow\) если комплексные числа \( Z = C_{2}\pm i\cdot C_{3}\) не совпадают с корнями:
    \(\check{y} = A\cdot e^{C_{2}}\cdot(B\sin(C_{3}\cdot x) + C\cdot\cos(C_{3}\cdot x))\)
  • \(f(x) = C_{1}\cdot e^{C_{2}\cdot x}\cdot \sin(C_{3}\cdot x) \Rightarrow\) если комплексные числа \( Z = C_{2}\pm i\cdot C_{3}\) совпали с корнями:
    \(\check{y} = A\cdot x\cdot e^{C_{2}}\cdot(B\cdot\sin(C_{3}\cdot x) + C\cdot\cos(C_{3}\cdot x))\)

V Характеристическое уравнение имеет два мнимых, сопряженных корня

    1. \(f(x) = C_{1}\cdot \sin(C_{2}\cdot x) \Rightarrow\) если мнимый корень уравнения не совпал с коэффициентом \(C_{2}\):
      \(\check{y} = A\cdot\sin(C_{2}\cdot x) + B\cdot\cos(C_{2}\cdot x)\)
    2. \(f(x) = C_{1}\cdot\sin(C_{2}\cdot x) + C_{3}\cdot\cos(C_{4}\cdot x) \Rightarrow\) если мнимый корень уравнения не совпал с коэффициентами \(C_{2}, C_{4}\):
      \(\check{y} = A\cdot\sin(C_{2}\cdot x) + B\cdot\cos(C_{4}\cdot x)\)
    3. \(f(x) = C_{1}\cdot x\cdot \sin(C_{2}\cdot x) + C_{3}\cdot\cos(C_{4}\cdot x) \Rightarrow\) если мнимый корень уравнения совпал с коэффициентами \(C_{2}, C_{4}\), стандартный подбор умножается на \(x\):
      \(\check{y} = x\cdot((A\cdot x+B)\cdot \sin(C_{2}\cdot x) + (C\cdot x+D)\cdot\cos(C_{4}\cdot x))\)

Примеры

Для лучшего понимания темы рассмотрим некоторые примеры:
Пример 1: $$y''+y'-2\cdot y = x^2+1$$ Составим и решим характеристическое уравнение \(\lambda^{2}+\lambda-2 = 0\), получим \(\lambda_{1,2} = -2, 1\) — получены различные, корни, не равные нулю, значит частное решение линейного дифференциального уравнения будет в виде: $$\check{y} = A\cdot x^2+B\cdot x+C$$ Найдем первую и вторую производную частного решения: $$\check{y}' = 2\cdot A\cdot x + B$$ $$\check{y}'' = 2\cdot A$$ Теперь подставим производные в левую часть уравнения: \((2\cdot A) + (2\cdot A\cdot x + B) -2\cdot(A\cdot x^2+B\cdot x+C) = x^2 + 1\) Отсюда находим коэффициенты \(A = -\dfrac{1}{2}, B=-\dfrac{1}{2}, C=-\dfrac{5}{4}\)
Теперь можно записать решение: $$y = Y + \check{y} = C_{1}\cdot e^{-2\cdot x}+C_{2}\cdot e^{x} -\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x}{2} - \dfrac{5}{4}$$

Нет комментариев



ru |  en