Список статей

Мы в социальных сетях

       

Комплексные числа

Общие сведения

Поле комплексных чисел является расширением действительных чисел. Имея в своем составе мнимую единицу (речь о которой пойдет дальше) стало возможным извлечение корня из отрицательных чисел. Например, некоторые квадратичные уравнения имеют отрицательный дискриминант, т.е. нет решений в действительных числах. Ознакомившись с комплексными числами вы сможете решать такие "плохие" уравнения.
Алгебраический вид комплексного числа: \( z = a+i b \), где мнимая единица \(i = \sqrt{-1}, i^2 = -1\)
Действительная часть \(a\)
Мнимая часть \(i\cdot b\)
Число \(z = a+i b\) имеет сопряженное комплексное число \( z^{*} = a-i b \)

Арифметика комплексных чисел

  • Сложение: \(z_{1}+z_{2} = (a+i\cdot b) + (c+i\cdot d) = (a+c) + i(b+d)\)
  • Вычитание: \(z_{1}-z_{2} = (a+i\cdot b) - (c+i\cdot d) = (a-c) + i(b-d)\)
  • Умножение: \(z_{1}\cdot z_{2} = (a+i\cdot b) \cdot (c+i\cdot d) = (a+c) + i(b+d)\)
  • Деление: \(\dfrac{z_{1}}{z_{2}} = \dfrac{a+i b}{c+i d} = \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2} + i \dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\)

Модуль комплексного числа: \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\)
Аргумент комплексного числа: \(arg=arctg(\dfrac{b}{a})\)
С помощью модуля и аргумента, комплексное число представляется в тригонометрическом виде: \(z = |z|(\cos(arg) + i\cdot\sin(arg))\)
и в показательном виде: \(z = |z|e^{i arg }\)

Формула Муавра

Формула Муавра может быть использована для возведения в степень: \(z^n=(|z|)^n(\cos(n\phi) +i\sin(n\phi))\)

Корень комплексного числа

Корень степени \(n\) их числа \(z\) является комплексное число \(u^n = z\). Отметим, что корень степени \(n\) имеет ровно \(n\) значений на комплексной плоскости. Корень степени \(n\) находится с помощью формулы Муавра: $$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{|z|}\left (\cos\left (\dfrac{\phi + 2nj}{n}\right ) +i\sin\left (\dfrac{\phi + 2nj}{n}\right ) \right ),$$ где \(j = 0,1,2...n-1\)

Нет комментариев



ru |  en