Список статей

Мы в социальных сетях

       

Операции с матрицами

На этом уроке мы научимся выполнять математические действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение, транспонирование матрицы, а так же нахождение обратной матрицы). Даже неподготовленный человек может выполнять действия с матрицами, настолько просто и доступно изложен данный материал. А примеры помогут научиться выполнять эти действия на практике. Начнем с определения матрицы. Слово "Матрица" происходит от латинского matrix (мать, первопричина, первоисточник). Матрица - это система каких-либо элементов, расположенных прямоугольником. Элементами матрицы могут быть числа, частные производные, комплексные числа. Мы будем рассматривать числовые матрицы. Матрицы обычно обозначаются прописными латинскими буквами. Например \(A,B,C,D\). Матрица состоит из строк и столбцов. Их количество задают размеры матрицы. Если количество строк матрицы равно количеству ее столбцов, то такая матрица называется квадратной. В данном случае рассмотрим матрицу "два на три":

$$A=\begin{pmatrix} 2 & 4 &-10 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Данная матрица состоит из шести элементов или в данном случае чисел. У каждого числа свое место в матрице. Переставлять самовольно их нельзя. Когда говорят о размерах матрицы, то сначала указывают количество строк (в нашем случае-2), а только потом – количество столбцов (3). Т.е. это матрица «два на три». Если количество строк и столбцов матрицы одинаково, то матрицу называют квадратной. Например матрица B "три на три". $$B=\begin{pmatrix} 2 & 4 &-10 \\ 1 & 4 &14 \\ 3 & 4 &-1 \\ \end{pmatrix}$$ На практике достаточно часто встречаются матрицы, состоящие из одного столбца или из одной строки. Если в матрице один столбец $$C=\begin{pmatrix}1 \\ 23 \\ -2\\ \end{pmatrix}$$ или одна строка $$D=\begin{pmatrix}1 & 34&12 45\\ \end{pmatrix}$$, то такие матрицы также называют векторами. Переходим к рассмотрению действий с матрицами.

1) Вынесение минуса из матрицы (внесение минуса в матрицу).

Допустим, имеется матрица B «три на три». В этой матрице много отрицательных чисел, что приводит к неудобству при работе с матрицей. $$B=\begin{pmatrix} -2 & 4 &-10 \\ -1 & -3 &4 \\ 2 & -5 &-1 \\ \end{pmatrix}$$ Вынесем минус за пределы матрицы. Для этого сменим у каждого числа матрицы знак: $$B=\begin{pmatrix}-2 & 4 &-10 \\ -1 & -3 &4 \\ 2 & -5 &-1 \\ \end{pmatrix}=-\begin{pmatrix}2 & -4 &10 \\ 1 & 3 &-4 \\ -2 & 5 &1 \\ \end{pmatrix}$$ У нуля знак не меняется. После таких преобразований выполнять любые математические действия с матрицей будет проще.

2) Умножение матрицы на число

Пример: $$3 \cdot \begin{pmatrix}2 & 1 \\ 4 & -1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\cdot 2 & 3\cdot 1 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot (-1) \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 3 \\ 12 & -3 \\ \end{pmatrix}$$ Для того, чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент матрицы умножить на данное число. В данном случае – на тройку.

Умножение матрицы на дробь

Умножение матрицы на дробное число практически то же самое что и умножение на число. Если бы все элементы матрицы делились на 2 без остатка, то тогда можно (и нужно!) поделить. Приведем пример: $$ \frac{1}{2}\begin{pmatrix}2 & 10\\ 64 & 6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 5\\32 & 3\end{pmatrix}$$ В этом случае мы умножаем все элементы матрицы на , так как все числа матрицы делятся на 2 без остатка.

Свойства умножения матрицы на число

  • \( 1\cdot A=A\)
  • \( 1\cdot A = \Theta \)
  • \( \lambda (A+B)=\lambda A +\lambda B\)
  • \((\lambda +\mu)A=\lambda A + \mu A \)
  • \( (\lambda \mu)A=\lambda(A\mu)\)

3) Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы- это замена строк матрицы на столбцы этой же матрицы. Например, надо транспонировать матрицу D. Строка здесь всего одна и, согласно правилу, её нужно записать в столбец. Транспонированная матрица обычно обозначается надстрочным индексом или штрихом справа вверху.

Пошаговый пример:
Допустим, надо транспонировать матрицу B «три на три» $$D=\begin{pmatrix}1 & 2& 3\\ 2 & 7 & 3\\ 5& 1 & 8\end{pmatrix}$$ Сначала переписываем первую строку в первый столбец: $$D^{T}=\begin{pmatrix}1 & *& *\\ 2 & * & *\\ 3& * & *\end{pmatrix}$$ Потом переписываем вторую строку во второй столбец: $$D^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2& *\\ 2 & 7 & *\\ 3& 3 & *\end{pmatrix}$$ И, наконец, переписываем третью строку в третий столбец: $$D^{T}=\begin{pmatrix}1 & 2& 5\\ 2 & 7 & 1\\ 3& 3 & 8\end{pmatrix}$$

4) Сумма (разность) матриц

Действия сложения или вычитания можно производить только с матрицами одинаковыми по размеру. В итоге получится матрица такого же размера. Например, надо сложить матрицы $$F=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 7 \\ \end{pmatrix}, G=\begin{pmatrix}3 & 5\\ 1 & 4 \\ \end{pmatrix}$$ Для того чтобы сложить матрицы, необходимо сложить их соответствующие элементы: $$F+G=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 7 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3 & 5\\ 1 & 4 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 7\\ 3 & 11 \\ \end{pmatrix}$$ Для того, чтобы найти разность матриц, надо найти разность соответствующих элементов. Нахождение разности матриц это частный случай суммы, поэтому обойдемся без примера.

5) Умножение матриц

Умножать друг на друга можно только те матрицы, для которых число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго сомножителя. Результатом умножения является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов совпадает с числом столбцов второго сомножителя. Т.е., чтобы матрицу можно было умножить на матрицу нужно, чтобы число столбцов матрицы \(K\) равнялось числу строк матрицы \(L\). Рассмотрим на примере. Перемножим матрицы \(K\) и \(L\). $$K=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 7 \\ \end{pmatrix}L=\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ \end{pmatrix}$$ В данном случае количество столбцов матрицы \(K\) равно количеству строк \(L\) значит, умножать данные матрицы можно. Если эти же матрицы поменять местами, то умножение уже невозможно. Т.е. умножить матрицу \(L\) на \(K\) нельзя! При умножении квадратных матриц, возможно как умножение , так и умножение $$M=\begin{pmatrix}5 & 1\\ 3 & 7 \\ \end{pmatrix}N=\begin{pmatrix}1 & 8\\3 & 9 \\ \end{pmatrix}$$ Умножение матриц рассмотрим на простейшем примере Допустим, надо перемножить матрицы \(K\) и \(L\). $$(K=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 7 \\ \end{pmatrix}L=\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ \end{pmatrix}$$ Приведем формулу для каждого случая: $$\begin{pmatrix}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2} \\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}c_{1} \\ c_{2} \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}c_{1} & b_{1} c_{2}\\ a_{2} c_{1} & b_{2} c_{2} \\ \end{pmatrix}$$ $$KL=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 7 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 4\\ 6 & 14 \\ \end{pmatrix}$$ Делаем вывод, который надо запомнить. При умножении переставлять матрицы нельзя! Иногда правило умножения матрицы формулируют проще: строки первой матрицы умножаем на соответствующие столбцы второй. Это все. Следующий урок Определитель матрицы посвящен нахождению определителя матрицы и является логическим продолжением данной темы.

Нет комментариев



ru |  en