Список статей

Мы в социальных сетях

       

Линейные неравенства. Системы линейных неравенств

На прошлом уроке мы закончили рассматривать векторную алгебру и теперь перейдем к теме линейных неравенств. Для начала рассмотрим двумерный случай линейных неравенств, т.е. в неравенствах будут участвовать две неизвестные - x, y. Материал этого урока нужен для лучшего понимания основ задачи линейного программирования, использующейся в экономике и теории игр.

Линейные неравенства в двумерном пространстве

Напомню как выглядит общее уравнение прямой на плоскости: \(Ax+By+C=0\).Перечислим два типа линейных неравенств:

  • Строгие \(Ax+By+C > 0\) или \(Ax+By+C < 0\)
  • Нестрогие \(Ax+By+C \geqslant 0\) или \(Ax+By+C \leqslant 0\)

Линейное уравнение вида \(Ax+By+C=0\) задает прямую, а линейные неравенства задают полуплоскость. В этом и заключается разница. На примере все просто. Например, неравенство \(x > 0\) задает полуплоскость "выше" оси иксов, причем не включая саму ось икс, а \(x \geqslant 0\) - тоже самое но включая ось икс. Аналогично с игреками.

Полуплоскость решений линейного неравенства
Рисунок 1. Полуплоскость

Часто задачи связанные с линейными неравенствами формулируются следующим образом:
Пример: Решить линейное неравенство: \(-5x+3 < 0\). 
Решение: Решить линейное неравенство значит найти полуплоскость, причем точки, которые принадлежат этой полуплоскости должны удовлетворять заданному неравенству (и прямой, в случае когда неравенство нестрогое).
Первый способ: Выражаем икс: \(-5x+3 < 0 \Rightarrow -5x < -3 \Rightarrow x<\frac{5}{3}\). Смысл этого выражения простой - все что меньше числа \(\frac{5}{3}\). На рисунке 1 красным цветом изображена прямая \(x=\frac{5}{3}\), а бледно-синяя область содержать все точки, удовлетворяющие заданному неравенству. Обратите внимание, неравенство строгое, это значит что сама красная прямая не включается в полуплоскость.
Второй способ более универсальный, поэтому уделите ему больше внимания. Начертите прямую \(-5x+3 = 0\). Затем выберите любую точку, не принадлежащую прямой, пусть это будет \(M(0; 0)\). Теперь подставим координаты точки в неравенство: \(-5\cdot 0+3 < 0 \Rightarrow 3 < 0\). Получилось неверное неравенство, поскольку 3 никак не меньше нуля. Делаем вывод: точка \(M(0; 0)\) лежит не в той полуплоскости, которая удовлетворяет условию. Если точка полуплоскости (причем точка, не принадлежащая прямой) не удовлетворяет заданному неравенству, то и все остальные точки полуплоскости не удовлетворяют неравенству. В ином случае, когда точка удовлетворяет заданному неравенству, то и все остальные точки полуплоскости удовлетворяют неравенству. Следовательно, нужная полуплоскость находится справа.

Рассмотрим пример, когда в неравенстве присутствуют обе неизвестные:
Пример: Решить линейное неравенство: \(x+y-2> 0\).
Решение: Построим линию \(x+y-2 = 0\). Подставим знакомую точку \(M(0; 0)\) в неравенство: \(0+0-2 > 0 \Rightarrow -2 > 0\). Получено неверное неравенство, а значит точка \(M(0; 0)\) и все остальные точки полуплоскости не подходят. Очевидно что нужная полуплоскость находится "правее" прямой. Обратите внимание, что сама прямая \(x+y-2 = 0\) не входит в решение, поскольку неравенство строгое.

Обратная задача: Дана прямая \(4x-y+2=0 \) и точка \(M(-1; 1)\). Составить уравнение полуплоскости, в которую входит точка \(M(-1; 1)\). Сама прямая так же должна входить в решение.
Решение: Составим многочлен следующего вида: \(p(x; y) = 4x-y+2\) и подставим в него точку \(M(-1; 1)\). Получим: \(p(-1; 1) = -4-1+2 = -3\). Поскольку \(-3 < 0\), неравенство будет со знаком "меньше или равно" (не "меньше", поскольку неравенство нестрогое).
Это пока все, дальше рассмотрим систему линейных неравенств.

Системы линейных неравенств. Примеры решения задач

Под системой линейных неравенств понимают два и более линейные неравенства, содержащие одну и ту же неизвестную величину. Решить систему линейных неравенств – значит найти такое множество точек на плоскости, которое будет удовлетворять каждому неравенству системы. Система линейных неравенств может быть несовместной, т.е. не иметь решений. Например, система \(\left\{\begin{matrix} x>5\\ x

Область решений в виде многоугольника
Рисунок 2. Область решений в виде многоугольника

Чаще всего приходится работать с нестрогими неравенствами, поэтому дальше будем рассматривать именно нестрогие.
Пример: Решить систему линейных неравенств \(\left\{\begin{matrix}-2x-5y+5 \geqslant 0\\ x\geqslant 0\\ y\geqslant 0\end{matrix}\right.\)
Решение: Сразу обратим внимание на условия \( x\geqslant 0\\ y\geqslant 0\). Это значит что Область решений будет положительной и включает в себя координатные оси. На рисунке 2 ограничения изображены в виде прозрачных красных линий, лежащих на осях системы координат. Далее строим прямую \(-2x-5y+5 = 0\) (на рисунке 2 синяя прямая). Проверяем как именно эта прямая ограничивает область решений (алгоритм был подробно описан выше). Бледно-синим цветом изображена область решений. По сути это все, однако иногда еще требуется найти вершины образованного многоугольника \(ABC\). В нашем случае их три. Точка \(A(0; 0)\) и так очевидна , найдем еще две: Решаем систему: \(\left\{\begin{matrix} -2x-5y+5 = 0\\ y = 0 \end{matrix}\right.\) и находим точку \(C: -2x-5\cdot 0+5 = 0 \Rightarrow x=\frac{5}{2}\). Аналогично находим точку \( B: \left\{\begin{matrix} -2x-5y+5 = 0\\ x = 0 \end{matrix}\right. \Rightarrow -2\cdot 0-5y+5 = 0 \Rightarrow y=1\). Запишем все известные точки: \(A(0; 0), B(0; 1), C(\frac{5}{2}; 0)\).
Были рассмотрены задачи средней степени сложности в двумерном пространстве. Задача линейного программирования, которой будет посвящен отдельный урок обычно оперирует многомерным полигоном, что делает невозможным построить график.

Нет комментариев



ru |  en