Список статей

Мы в социальных сетях

       

Понятие линейной зависимости векторов

Линейная (не) зависимость векторов двумерного пространства. Базис плоскости и аффинная система координат

На прошлом уроке были рассмотрены понятия скалярного произведения векторов, проекция вектора и направляющие косинусы. Начнем этот урок с понятия базиса двумерного пространства. Представьте два коллинеарных вектора в двумерном пространстве. Векторы параллельны друг другу, а следовательно линейно выражаются друг через друга \(\alpha\vec{a} = \vec{b}\) и наоборот: \(\vec{b}\frac{1}{\alpha} = \vec{a}\), где \(\alpha \neq 0\). Такие векторы называются линейно зависимыми. Очевидно что из них нельзя построить базис системы координат. Стоит запомнить и понять, что базисные вектора всегда независимы. Векторы зависимы в том случае если существует способ выразить их друг через друга. Формальное определение выглядит так: если для системы из \(n\) векторов \(a_{i}\) равенство \(\sum_{i=1}^{n}\lambda _{i}a_{i}=0\) выполняется только тогда, когда все \(\lambda\) нулевые, это линейно независимые вектора. Если, хотя бы одна \(\lambda\) не ноль, то речь идет о линейно зависимых векторах. Два вектора на плоскости линейно зависимы только в случае, когда оба они коллинеарны. Любые три компланарных вектора (компланарные - параллельные одной плоскости), а так же четыре и более вектора в трехмерном пространстве так же являются линейно зависимыми. Вернемся к плоскости. Представьте два вектора, между которыми угол \(\phi\), который изменяется \(0 \leq \phi \leq 180\). Пусть эти векторы будут \(\vec{e}_{1}, \vec{e}_{2}\), вместе они образуют базис аффинной системы координат, о которой пойдет речь дальше.

Аффинная система координат
Рисунок 1. Аффинная (косоугольная) система координат

Сформулируем понятие базиса плоскости. Базис плоскости - это пара неколлинеарных (линейно независимых) векторов, взятых в строгом порядке. Любой вектор плоскости будет являться линейной комбинацией этих векторов. Что бы присвоить вектору координаты на плоскости нужен не только базис, а еще точка начала координат. Когда между базисными векторами угол 90 градусов, такой базис называется ортонормированным. В ином случае, когда угол варьируется между нулем и 90 градусами, это будет аффинная система координат (см. рисунок 1). В аффинной системе координат не работают формулы длин векторов и отрезков, рассмотренные на уроке Вектор для начинающих. Зато остаются правила сложения векторов и умножения вектора на скаляр, формулы деления отрезка.

Задачи определения коллинеарности векторов плоскости

Что бы два вектора плоскости \(\vec{a}(a_{1}; a_{2}), \vec{b}(b_{1}; b_{2})\) были коллинеарными, их соответствующие координаты должны быть пропорциональными, т.е.: \( \left\{ \begin{matrix}a_{1} = \lambda b_{1}\\a_{2} = \lambda b_{2} \end{matrix}\right.\). Существует так же еще способ проверки вектора на коллинеарность: Два вектора на плоскости коллинеарны только в случае, если определитель матрицы, составленной из координат векторов равен нулю: \(\begin{vmatrix}v_{1} & w_{1}\\ v_{2} & w_{2}\end{vmatrix}=0\).

Задачи определения коллинеарности векторов пространства

Здесь все аналогично, только добавляется еще одна переменная. Итак, два вектора трехмерного пространства \(\vec{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})\) коллинеарны, когда их координаты пропорциональны: \(\left\{\begin{matrix}a_{1} = \lambda b_{1}\\a_{2} = \lambda b_{2}\\a_{3} = \lambda b_{3}\end{matrix}\right. \).

Линейная (не) зависимость векторов трехмерного пространства. Базис в пространстве и аффинная система координат

Практически все законы для двумерного случая будут справедливы и для пространства. Базис трехмерного пространства образуют три вектора. Стоит заметить, что не любые три вектора образуют базис. Ранее уже упоминался термин компланарности, добавим, что базис трехмерного пространства должен состоять из некомпланарных (а следовательно и линейно независимых) векторов, т.е. не существует плоскости, которой три вектора были бы параллельны. При этом любой вектор в трехмерном пространстве можно представить линейной комбинацией базиса. Два вектора на плоскости коллинеарны только в случае, если определитель матрицы, составленной из координат векторов равен нулю: \(\begin{vmatrix}v_{1} & w_{1}& s_{1}\\ v_{2} & w_{2}& s_{2}\\ v_{3} & w_{3}& s_{3}\end{vmatrix}=0\). Кстати, координаты вектора вполне можно записать не только в строки, но и в столбцы.


Пример: Доказать что векторы \(\vec{a}(4; 1; 5), \vec{b}(2; 1; 3), \vec{c}(6; 1; 7)\) образуют базис трехмерного пространства.
Решение: Найдем определитель: \(\begin{vmatrix}4 & 1 & 5 \\ 2 & 1 & 3\\ 6 & 1 & 7\end{vmatrix}= 28+10+18-30-12-14 = 0\). Определитель равен нулю, следовательно вектора не образуют базис. Рассмотрим пример решения еще одной задачи, пусть даны три вектора, образующие базис: \(\vec{a}(4; 1; 4), \vec{b}(-2; -1; 1), \vec{c}(3; 1; 5)\) и дан вектор \(\vec{d}(-3; -2; 1)\). Требуется найти координаты вектора в заданном базисе.
Решение: По определению базиса, любой вектор можно разложить в виде линейной комбинации векторов базиса: \(\vec{v}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma\vec{c}\), где \(\alpha, \beta, \gamma\) координаты вектора в базисе. В нашем случае обозначим координаты через \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\) и составим систему линейных уравнений:\(\left\{\begin{matrix} 4x_{1}& -2x_{2}& 3x_{3}=&-3\\ x_{1}& -x_{2}& x_{3} =&-2\\ 4x_{1}& x_{2}& 5x_{3}=&1 \end{matrix}\right.\) Решаем систему, получаем три значения \(x_{1}=1, x_{2}=2, x_{3}=-1\), это и есть координаты вектора \(\vec{b}\) в заданном базисе.
На сегодня все. Следующий урок Векторное и смешанное произведение векторов.

Нет комментариев



ru |  en