Список статей

Мы в социальных сетях

       

Линии высших порядков. Эллипс

Понятие алгебраической линии. Порядок линии

Линия на плоскости является алгебраической, если в аффинной системе координат ее уравнение выглядит следующим образом: \(F(x, y)=0\), где \(F(x, y)\) – это многочлен, который состоит из слагаемых, вида: \(kx^{m}y^{n}\), где \(k\) – это некоторое действительное число, \(m, n \in \mathbb{N}\). Порядком алгебраической линии называется максимальное значение \(m+n \), входящих в него слагаемых. Нижеследующие факты о алгебраической линии и ее порядке не зависят от аффинной системы координат.

Общее уравнение линии второго порядка: \(Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0\), где \(A, B, С, D, E, F\) – некоторые действительные числа. \(A, B, С\) одновременно не равны нулю. Алгоритм определения порядка линии прост: перебрать все слагаемые общего уравнения и для каждого посчитать сумму степеней переменных. Наибольшая сумма степеней и будет порядком уравнения.

Канонический вид уравнения

Канонический вид уравнения является стандартным, общепринятым видом уравнения. К примеру, уравнение плоской прямой в каноническом виде выглядит так: \(\frac{x-x_{0}}{p_{1}}=\frac{y-y_{0}}{p_{2}}\). В приведенном примере канонический вид удобен прежде всего тем, что сразу понятно что это уравнение прямой. так же легко просматривается точка \(M(x_{0}; y_{0})\), через которую проходит прямая и направляющий вектор \(\vec{p}(p_{1}; p_{2})\).

Основные виды уравнений второго порядка

  • \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, (a > b)\) – каноническое уравнение эллипса
  • \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) – каноническое уравнение гиперболы
  • \(y^{2}=2px, (p>0)\) – каноническое уравнение параболы
  • \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1\) – каноническое уравнение мнимого эллипса
  • \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\) – две пересекающиеся прямые
  • \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\) – две мнимые пересекающиеся прямые
  • \(y^{2}-a^{2}=0\) – две параллельные прямые
  • \(y^{2}+a^{2}=0\) – две мнимые параллельные прямые
  • \(y^{2}=0\) – две совпавшие прямые

На практике наиболее часто встречаются эллипс, парабола и гипербола. Далее будет рассмотрен эллипс, поскольку именно ему посвящен урок.

Эллипс. Канонический вид уравнения эллипса

Вспомним канонический вид эллипса: \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, (a > b)\), где \(a, b\) числа положительные и действительные.

Эллипс, фокусы эллипса
Рисунок 1. Эллипс. Фокусы эллипса

Построим эллипс, заданный уравнением: \(\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{36}=1\). Графический результат этого действия представлен на рисунке 1. Приведем уравнение к каноническому виду: \(\frac{x^{2}}{10^{2}}+\frac{y^{2}}{6^{2}}=1\). Одно из преимуществ канонического вида состоит в том, что теперь легко определить вершины эллипса. Расстояния от центра координатной системы до пересечений с осями соответственно \(a=10, b=6\) единиц. Отрезок \((-10; 10)\) называется большой осью эллипса. \((-6; 6)\) - малой осью. Число \(a=10\) называется большой полуосью, а \(b\) соответственно малой. Любой эллипс симметричен относительно начала координат, а так же координатных осей.

Эллипс является множеством точек плоскости, сумма расстояний до каждой из которых от двух точек \(F_{1}, F_{2}\) – величина постоянная и равна \(2a\). Числа \(F_{1}, F_{2}\) называются фокусами эллипса. Расстояние между фокусами меньше двух малых полуосей \(|F_{1} F_{2}|<2a\).

На рисунке 1 изображена красная точка, которая "ездит" по контуру эллипса. Если взять любую координату красной точки, т.е. переместить ее в любое место на контуре эллипса, сумма длин сиреневых отрезков не изменится. Эта сумма всегда будет равна \(2a\). Что бы лучше понять как строится эллипс, посмотрите рисунок 2.

эллипс
Рисунок 2. Как строится эллипс

Нахождение фокусов эллипса

В случае, когда эллипс задан каноническим уравнением \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1)\), его фокусы имеют координаты: \(F_{1}(c; 0), F_{2}(-c; 0)\), где \(с=\sqrt{a^{2}-b^{2}}\). Число \(c\) является расстоянием фокуса до центра симметрии эллипса.

Понятие эксцентриситета эллипса. Геометрический смысл

Эксцентриситет – это соотношение \(\varepsilon =\frac{c}{a}, 0 \leq \varepsilon <1\). Чем ближе значение эксцентриситета к единице, тем эллипс более вытянутый. Когда значение эксцентриситета стремится нулю, эллипс превращается в круг.

Нет комментариев



ru |  en