Список статей

Мы в социальных сетях

       

Матричные уравнения. Примеры решений

Что такое матричное уравнение? Это обычное уравнение, в котором вместо чисел могут находиться матрицы. В итоге, после решения матричного уравнения, мы должны получить матрицу.

Общие принципы решения матричных уравнений

Пример 1: Решить матричное уравнение:
$$ \begin{pmatrix}1 & -3\\ 8 & 0\end{pmatrix}-2X=3\cdot\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & 4\end{pmatrix}$$

Решение: В данном случае задача сводится к нахождению матрицы \(X\). Умножаем каждый элемент правой части на 3. Из левой части переносим матрицу вправо. При этом меняем знак на противоположный. $$-2X=\begin{pmatrix}-3 & 3\\ 0 & 12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & -3\\ 8 & 0\end{pmatrix}$$ $$-2X=\begin{pmatrix}-4 & 6\\ -8 & 12\end{pmatrix}$$

Далее выразим \(X\), для этого умножаем обе части уравнения на \(-\frac{1}{2}\): $$X=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}-4 & 6\\ -8 & 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & -3\\ 4 & -6\end{pmatrix}$$ для проверки подставьте \(X\) в исходное уравнения и посчитайте что получится.

Распространённый алгоритм решения матричного уравнения

 Для облегчения решения матричных уравнений составим алгоритм их решения.

  1. Приводим уравнение к одному из трех видов: \(AX=B\) или \(XA=B\) или \(AXB=C\), где \(A, B, C\) — известные матрицы.
  2. Решаем уравнение относительно \(X\).

    a) \(AX=B\) Для того, чтобы разрешить данное уравнение, относительно матрицы \(X\), умножим обе части уравнения на \(A^{-1}\) слева: \(A^{-1}AX=A^{-1}B\). Мы знаем, что \(A^{-1}A=E\) (свойство матриц), поэтому: \(EX=A^{-1}B\). Единичную матрицу можно убрать (свойства операций над матрицами) \(XA=A^{-1}B\). Матрица \(A^{-1}\) не известна.
    b) \(XA=B\) Умножаем обе части уравнения на \(A^{-1}\)  справа:
    \(XAA^{-1}=BA^{-1} \Rightarrow AA^{-1}=E \Rightarrow XE=BA^{-1}\). Единичную матрицу убираем: \(X=BA^{-1}\). Матрица \(A^{-1}\) не известна.

  3. Находим обратную матрицу \(A^{-1}\).
  4. Выполняем матричное умножение \(A^{-1}B\) или \(BA^{-1}\).

Примеры решений матричных уравнений

Пример 2: Решить матричное уравнение \(\begin{pmatrix}3 & 7\\ 2 & 8\end{pmatrix}\cdot X=\begin{pmatrix}4 & 8\\ 6 & 2\end{pmatrix}\).

Решение: Для разрешения уравнения относительно \(X\) умножим обе его части на \(A^{-1}\) слева: \(A^{-1}AX=A^{-1}B \Rightarrow EX=A^{-1}B \Rightarrow X=A^{-1}B\)

Из условия известны матрицы \(A, B\), однако, обратной матрицы \(A^{-1}\) мы не знаем. Придётся её найти. Обратную матрицу найдем по формуле: \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{T}\), где \(A^{T}\) — транспонированная матрица алгебраических дополнений. \(|A|=\begin{vmatrix}3 & 7\\  2& 8\end{vmatrix}=3\cdot 8-2\cdot 7=10\).

Матрица миноров: $$M=\begin{pmatrix}8 & 2\\ 7 & 3\end{pmatrix}$$ Матрица алгебраических дополнений: $$A_{*}=\begin{pmatrix}8 & -2\\ -7 & 3\end{pmatrix}$$ Транспонированная матрица алгебраических дополнений: $$A_{*}^{T}=\begin{pmatrix}8 & -7\\ -2 & 3\end{pmatrix}$$ Таким образом обратная матрица \(A^{-1}=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}8 & -7\\ -2 & 3\end{pmatrix}\).

На финише проводим матричное умножение и получаем решение: $$X=A^{-1}B=\frac{1}{10}\begin{pmatrix}8 & -7\\ -2 & 3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4 & 8\\ 6 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1 & 5\\1 & -1\end{pmatrix}$$ Проверку выполните самостоятельно.

Нет комментариев



ru |  en