Список статей

Мы в социальных сетях

       

Метод Гаусса решения СЛАУ

На этом уроке рассмотрим простой и эффективный метод решения систем линейных уравнений, предложенный немецким ученым К. Гауссом. Для успешного усвоения материала желательно уметь умножать и ознакомится с основными действиями с матрицами.

Небольшая справка: система линейных уравнений может:

  • Быть несовместной (не иметь решений)
  • Иметь одно решение
  • Иметь бесконечно много решений

Метод Гаусса справляется со случаем № 3, тогда как правило Крамера и матричный метод пасуют.

Метод Гаусса

Условно алгоритм можно разделить на два этапа: прямой ход и обратный ход.

Цель прямого хода образовать нули ниже (или выше) главной диагонали. Например: Пусть есть СЛАУ: $$\left\{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}=b_{2}\end{matrix}\right.$$ В матричном виде она будет выглядеть так: $$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\ a_{21}&a_{22}&b_{2}\end{pmatrix}$$ После прямого хода получится новая матрица: $$\begin{pmatrix}s_{11}&s_{12}&r_{1}\\ 0&s_{22}&r_{2}\end{pmatrix}$$

Когда матрица приведена к такому виду, неизвестные переменные находятся тривиальным способом начиная с низу и двигаясь вверх, это называется обратным ходом.

Прямой ход осуществляется путем элементарных преобразований:

  1. Перестановка двух любых строк
  2. Умножение каждого элемента строки на ненулевую константу
  3. Прибавление строки матрица умноженной на ненулевую константу к другой строке матрицы

Стоит отметить, что две матрицы \(A\) и \(B\) называются эквивалентными, если из матрицы \(A\) можно получить матрицу \(B\) путем элементарных преобразований. На этом теория окончена, переходим к практике.

Пример: Решить СЛАУ методом Гаусса $$\left\{\begin{matrix}3x_{1} + 2x_{2} - 5x_{3}= -1\\ 2x_{1}  - x_{2} + 3x_{3} = 13\\ x_{1} + 2x_{2} -1x_{3} = 9\end{matrix}\right.$$

Поменяем первую и третью строки местами: $$\begin{pmatrix}1 &2 &-1 & 9\\ 2&  -1& 3 &13\\3&2& - 5& -1\end{pmatrix}$$

Образуем нули в первом столбце, начиная со второго элемента. Прибавим первую строку умноженную на \(-2\) ко второй строке, а к третьей строке прибавим первую строку умноженную на \(-3\): $$\begin{pmatrix}1 &2 &-1 & 9\\ 0&  -5& 5 &-5\\0&-4& -2& -28\end{pmatrix}$$ Осталось образовать ноль во втором элементе третьей строки. Для удобства образуем единицу на месте второго элемента второй строки. Умножим вторую строку на \(-\dfrac{1}{5}\): $$\begin{pmatrix}1 &2 &-1 & 9\\ 0&  1& -1 &1\\0&-4& -2& -28\end{pmatrix}$$ Теперь прибавим к четвертой строке вторую строку, умноженную на \(4\): $$\begin{pmatrix}1 &2 &-1 & 9\\ 0&  1& -1 &1\\0&0& -6& -24\end{pmatrix}$$ Задача практически решена, проводим обратный ход. Найдем \(x_{3}\) из уравнения: \(-6x_{3}=-24\), затем подставим полученное значение во вторую строку и найдем \(x_{2}\) и т.д. Получим  \(x_{1}=3, x_{2}=5, x_{3}=4\).

Отметим, что метод применим в случае когда число уравнений \(n\) больше или равно числу неизвестных \(m\).

Нет комментариев



ru |  en