Список статей

Мы в социальных сетях

       

Обратная матрица

Определение обратной матрицы

На предыдущем уроке были рассмотрены методы нахождения определителя матртцы, теперь пришло время перейти к понятию обратной матрицы. Пусть \(A\) произвольная матрица, тогда матрица \(A^{-1}\) Называется обратной матрицей к \(A\), если \(AA^{-1}=A^{-1}A=E\), где \(E\) – единичная матрица. Т.е. обратная матрица – \(A^{-1}\), это такая матрица, при умножении которой на исходную получается единичная матрица (с единицами по главной диагонали и нулями в остальных местах). Обратная матрица обозначается надстрочным индексом \(-1\).

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц, матриц \([n\times n]\). Если для матрицы не существует обратной, она называется необратимой.

Свойства обратной матрицы:

  •  \((A^{-1})^{-1}=A\)
  •  \((\lambda \cdot A)^{-1}\frac{1}{\lambda}=A^{-1}\)
  • \((A \cdot B)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
  • \((A^{-1})^{T} = (A^{T})^{-1}\)

Обратную матрицу можно найти двумя способами: используя алгебраические дополнения или же элементарные преобразования. Рассмотрим первый метод нахождения обратной матрицы с использованием алгебраических дополнений. Пусть \(A\) – квадратная матрица. Обратную матрицу \(A^{-1}\) можно найти по следующей формуле: $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{T}$$, где \(|A|\) – определитель матрицы \(A\), \(A^{T}\) – транспонированная матрица алгебраических дополнений, соответсвующих элементов матрицы \(A\).

Рассмотрим матрицу "два на два".

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы \(A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3& 4\end{pmatrix}\)

1) Сначала находим определитель матрицы: \(|A|=\begin{pmatrix}1 & 2\\3& 4\end{pmatrix}=1\cdot 4-3\cdot 2=-2\)

Важно знать следующее, если определитель матрицы равен нулю – обратной матрицы не существует. В данном примере определитель не равен нулю, следовательно обратная матрица существует.

2) Находим матрицу миноров \(M\)

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица \(A\), т.е. в данном случае "два на два". Сначала рассмотрим левый верхний элемент: Как найти его минор?

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент. Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров четверку: $$\begin{pmatrix}4 & *\\ * & *\end{pmatrix}$$
Аналогично поступаем с остальными элементами, получаем матрицу миноров: $$\begin{pmatrix}4 & 3\\ 2 & 1\end{pmatrix}$$.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений \(A\)

Для этого в матрице миноров нужно поменять знаки у двух чисел на побочной диагонали. Получаем: $$\begin{pmatrix}4 & -3\\ -2 & 1\end{pmatrix}$$.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений \(A^{-1}\)

Транспонированная матрица алгебраических дополнений, соответствующая матрице \(A\) $$\begin{pmatrix}4 & -2\\ -3 & 1\end{pmatrix}$$

5) Далее, подставляем значения в формулу обратной матрицы

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{T} \Rightarrow A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4 & -2\\ -3 & 1\end{pmatrix}$$

Выполним проверку. Перемножим матрицы \(A^{-1}, A\), в результате должно получится единичная матрица.

\(A^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}\cdot(-\frac{1}{2})\cdot\begin{pmatrix}4 & -2\\ -3 & 1\end{pmatrix}\)

В итоге получилась единичная матрица. Таким образом, мы доказали, что обратная матрица найдена правильно.

Найти обратную матрицу для квадратной матрицы "три на три"

Обратная матрица \(A^{-1}\) для исходной матрицы \(A\) с размерностью \([3\times 3]\) находится аналогичным образом. Особенными являются моменты пункта 2 и 3, которые мы сейчас проясним.

Матрица миноров \(M\) для случая \([3\times 3]\) находится следующим образом:

  1. для каждого элемента матрицы \(a_{i,j}\) "вычеркиваются" все элементы его столбца \(j\) и строки \(i\), затем оставшиеся элементы образуют матрицу \([2\times 2]\), высчитав определитель этой матрицы получим один элемент результирующей матрицы миноров
  2. пункт 1 повторять для каждого элемента исходной матрицы

Из вышесказанного следует что требуется найти 9 определителей "маленьких матриц".

Далее проясним третий пункт, нахождения матрицы алгебраических дополнений. Берем матрицу миноров \(M\) и меняем знаки только у тех элементов, которым соответствует единица в схематической матрицей, приведенной ниже: $$\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\ 1& 0 &1 \\ 0 & 1 &0\end{pmatrix}$$

В остальном алгоритмы идентичны. На последок заметим, что обратная матрица так же находится методом Гаусса-Жордана.

 

 

Нет комментариев



ru |  en