Список статей

Мы в социальных сетях

       

Гипербола. Парабола

Гипербола. Канонический вид уравнения. График

На прошлом уроке мы разбирали тему эллипса, теперь займемся гиперболой. Ее каноническое уравнение имеет вид: \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\), где \(a, b\) положительные действительные числа. Гипербола имеет две симметричные ветви и две асимптоты. Асимптоты гиперболы находят по формулам: \(y=\frac{b}{a}x, y=-\frac{b}{a}x\).

гипербола
Рисунок 1. Гипербола и ее фокусы

Две вершины гиперболы находятся на оси иксов в точках \(A_{1}(a; 0), A_{2}(-a; 0)\). Для примера построим гиперболу по уравнению в канонической форме: \(5x^{2}-4y^{2}=20 \Rightarrow \frac{x^{2}}{2^{2}}-\frac{\sqrt{5}^{2}}{b^{2}}=1\), изображенную на рисунке 1. Отрезок \(A_{1}A_{2}\) является действительной осью гиперболы. Число \(a\) называется действительной полуосью, а \(b\) мнимой полуосью. Формальное определение гиперболы: гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность между которыми и точками \(F_{1}, F_{2}\), по модулю, постоянная и численно равна \(2a\), т.е. расстоянию между вершинами. Расстояние между фокусами \(F_{1}, F_{2}\) всегда больше \(2a\), это записывается как: \(|F_{1}, F_{2}|>2a\). Расстояние от центра симметрии до фокусов рассчитывается по формуле: \(c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\), координаты фокусов: \(F_{1}(c; 0), F_{2}(-c; 0)\). Отношение \(\varepsilon =\frac{c}{a}\) называется эксцентриситетом гиперболы. Поскольку расстояние от центра до вершины всегда меньше расстояния от центра до фокуса, эксцентриситет всегда больше единицы. При \(\varepsilon\rightarrow \infty \) ветви гиперболы будут "распрямляться" к оси \(OY\). В ином случае, когда \(\varepsilon\rightarrow 0\), ветви будут приближаться к оси \(OX\).

Гипербола с равными полуосями

В случае, когда в уравнении гиперболы \(a = b\), канонический вид уравнения упрощается: \(x^{2}-y^{2} = a^{2}\). Уравнения асимптот приходят к виду: \(y = x\) и \(y = -x\).

Параллельный перенос гиперболы. Поворот гиперболы

Гипербола перевернется на 90 градусов, если ее каноническое уравнение изменить до следующего вида: \(-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\). Не редко в задачах, связанных с гиперболой, последняя задана в таком "перевернутом" виде. Привести гиперболу к каноническому виду можно следующим образом: левую часть умножить на \(-1\), поменять местами значения полусоей. В итоге будет следующее \((-1)(-\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}})=1\Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\).

Для произведения параллельного переноса гиперболы в точку \(M(x_{0}; y_{0})\) используется уравнение: \(\frac{(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}=\frac{(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}\). Асимптоты легко отыскать по формулам: \(y-y_{0}=\frac{b}{a}(x-x_{0}), y-y_{0}=-\frac{b}{a}(x-x_{0})\). Расстояние от центра симметрии до фокусов, а так же полуоси не изменились, но координаты фокусов следует пересчитать: \(F_{1}(c+x_{0}; y_{0}), F_{2}(-c+x_{0}; y_{0})\).

Парабола. Канонический вид уравнения. График

Канонический вид уравнения параболы имеет вид: \(y^{2}=2px\), где действительное число \(p\) положительное.

парабола, геометрический смысл
Рисунок 2. Парабола

Некоторые особенности параболы знакомы нам еще со школы. Например, парабола симметричная относительно оси иксов, а в стандартном виде "лежит" на боку. Углубимся в процесс исследования параболы и построим таковую для примера: \(y^{2}=2x\). Данная парабола представлена рисунке 2 и теперь мы готовы сформулировать формальное определение: Парабола — это множество всех точек на плоскости, равноудаленных от заданной точки \(F\) и заданной прямой \(d\), не проходящей через \(F\). Фокусом называется точка \(F\), а директрисой — прямая \(d\). Фокальный параметр — расстояние от фокуса до директрисы (коэффициент \(p\) в каноническом уравнении). Координаты фокуса: \(F(\frac{p}{2}, 0)\). Директриса задается уравнением: \(x+\frac{p}{2}=0\). Смысл графика параболы простой: расстояние от фокуса до точки (\(|FM|\)) равна длине перпендикуляра \(MN\), т.е. \(|MN|=|FM|\).

Увеличение фокального параметра \(p\) приведет к расширению "язычка" параболы к оси \(OY\), в ином случае произойдет вытягивание вдоль \(OX\). Эксцентриситет параболы всегда равен единице.

Параллельный перенос параболы. Поворот параболы

Рассмотрим основные виды переносов параболы. В случае, когда в уравнении стоит знак "—": \(y^{2}=-2px\), парабола будет развернута на 180 градусов относительно своего стандартного, канонического вида.

 Случай, когда переменные поменялись местами: \(x^{2}=2py\), означает поворот параболы против часовой стрелки на 90 градусов.

Параллельный перенос параболы в заданную точку \(M(x_{0}; y_{0})\) реализуется по формуле: \((y-y_{0})^{2}=2p(x-x_{0})\).

 На этом теория подошла к концу, следующий урок посвящен задачам с прямыми второго порядка.

Нет комментариев



ru |  en