Список статей

Мы в социальных сетях

       

Примеры задач с линиями 2-го порядка

Данный урок является практическим продолжением темы линий высших порядков и ее частных случаев: эллипса, гиперболы и параболы. Как правило, часто встречающиеся задачи по аналитической геометрии формулируются примерно так:

  • Составить уравнение некоторого множества точек (отвечающих определенному условию)
  • Привести уравнение высшего порядка (второго) к каноническому виду
  • Комбинация двух предыдущих задач

Составить уравнение множества точек, отвечающих условию

Пример: Составить уравнение множества точек на плоскости, расстояние от которых до точки \(A(1; 2)\) в два раза больше чем от точки \(B(4; 1)\).

Решение: В задачах подобного типа (впрочем, как и в других тоже) главное правильно понять условие. Пусть расстояние от некоторой точки \(M(x; y)\), до точки \(A(1; 2)\) всегда больше в два раза, чем до точки \(B(4; 1)\), т.е. речь идет о длинах отрезков \(|AM|, |BN|\). Уравнение длинны отрезка рассматривалось на уроке найти длину отрезка и имеет вид: \(|AB|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}\). Теперь у нас есть все, что бы составить уравнение. В условии сказано, что длина \(|AM|\) в два раза больше \(|BM|\), следовательно: \(|AM|=2|BM| \Rightarrow 2\sqrt{(x-1)^{2} + (y-2)^{2}}=2\sqrt{(x-4)^{2} + (y-1)^{2}}\). Глядя на свежесоставленное уравнение сложно сказать что конкретно оно описывает, поэтому приведем его к каноническому виду. Для начала избавимся от корней, возведя обе части в квадрат: $$(\sqrt{(x-1)^{2} + (y-2)^{2}})^{2}=(2\sqrt{(x-4)^{2} + (y-1)^{2}})^{2}$$ $$(x-1)^{2} + (y-2)^{2}=4((x-4)^{2} + (y-1)^{2})$$ $$x^{2}+y^{2}-2x-4y+5=4(x^{2}+y^{2}-8x-2y+17)$$ $$-3x^{2}-3y^{2}+30x+4y-63=0$$ Делим обе части на -3: $$x^{2}+y^{2}-10x-\frac{4}{3}y+21=0$$ Получено уравнение в общем виде. С помощью разложения уравнения в полный квадрат, приведем его к виду: $$(x-x_{0})^2+(y-y_{0})^2=a^2 \Rightarrow (x-5)^{2}+(y-\frac{2}{3})^{2}=\frac{40}{9}$$ В итоге имеем уравнение окружности в центре \(O'(5; \frac{2}{3})\).

Пример: Найти уравнение, геометрического положения множества точек \(M(x; y)\), для каждой из которых отношение расстояния до точки \(A(1; 0)\) к расстоянию до прямой \(c: 2x-8=0\) постоянно и численно равняется \(\frac{2}{3}\). Построить чертеж, найти эксцентриситет, фокусы, директрисы, асимптоты если таковые имеются.

Решение: Сразу запишем формулу расстояния от \(A\) до \(M\): $$|AM|=\sqrt{(x-1)^{2} + (y-0)^{2}}$$ расстояние от точки до прямой: $$\rho(M; c)=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$$ $$\rho(M; c)=\frac{|2x+0\cdot y-8|}{\sqrt{2^{2}+0^{2}}}=\frac{|2x-8|}{\sqrt{4}}$$ По условию задачи, отношение расстояния \(|AM|\) к расстоянию \(\rho(M; c)\) постоянно и равно \(\frac{2}{3}\), запишем это в виде дроби: \(\frac{|AM|}{\rho(M; c)}=\frac{2}{3}\).

эллипс и прямая
Рисунок 1. Эллипс и прямая c: 2x-8=0

Дальнейшие преобразования расписывать не будем, запишем сразу: \(5x^{2}+9y^{2}+14x=55\). В итоге получился эллипс (см. рисунок 1). Нахождение фокусов и эксцентриситета подробно описаны на уроке Линии высших порядков. Эллипс. О приведении таких уравнений к каноническому виду мы поговорим на следующем уроке (ССЫЛКА). Придя к каноническому виду будет легко найти фокусы эллипса и эксцентриситет. Асимптоты искать не надо, они отсутствуют. Что же касается директрисы для эллипса, ее рассмотрим в следующем разделе.

Директрисы эллипса

Директриса по сути является прямой, как было сказано на уроке о гиперболе и параболе. Эллипс заданный в виде: \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) имеет две директрисы, которые находятся по формулам: \(d1: x-\frac{a}{\varepsilon }=0, d2: x+\frac{a}{\varepsilon }=0\), где число \(\varepsilon \) является эксцентриситетом эллипса. Отметим следующее, для любой точки плоскости \(M(x; y)\), принадлежащей эллипсу, отношение ее расстояния до фокуса  к расстоянию от нее до ближайшей директрисы равняется эксцентриситету.

Директрисы гиперболы

Две директрисы гиперболы (в каноническом случае) расположены между ее ветвями и задаются такими же уравнениями как и для эллипса. Кроме того взаимоотношение гиперболы с директрисами аналогично случаю эллипса.

Нет комментариев



ru |  en