Список статей

Мы в социальных сетях

       

Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду

На этом уроке разберем тему приведения уравнения линии второго к каноническому виду. Освежим в памяти общее уравнение линии второго порядка: \(Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0\), где числа \(A, B, C\) не равны нулю одновременно. На предыдущих уроках гипербола и парабола, а так же решение задач линии второго порядка разбирались задачи, где \(B=0\), случай, когда \(B\neq 0\) будем рассматривать на этом уроке. Обратите внимание, что члены \(2Dx, 2Ey\) отвечают за параллельный перенос линии (если хотя бы один из них не ноль), а \(2Bxy\) за поворот линии. Задача приведения уравнения к каноническому виду позволяет, независимо от расположения линий, определить с какой фигурой мы имеем дело.

В случаях, когда \(B=0\) можно было обойтись переносами, группировкой слагаемых, преобразованиями, вынесениями за скобки и т.д. и таким образом привести уравнение к каноническому виду. Но когда (B\neq 0\) придется задействовать более сложный метод, смысл которого заключается в переходе к новой системе координат, в которой уравнение имеет канонический вид.

Линии второго порядка можно разделить на две категории:

  • Центральные линии (с единственным центром симметрии), например эллипс
  • Нецентральные линии (центра симметрии нет), например парабола

Пусть есть уравнение линии второго порядка в общем виде \(Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0\) и требуется привести его к каноническому виду. Сначала нужно определить к какой категории оно относится. Это делается путем вычисления определителя матрицы: \(\delta =\begin{vmatrix}A & B\\ B & C\end{vmatrix}\), в случае когда  \(\delta = 0\) имеем дело с нецентральной линией, иначе с центральной.

Метод инвариантов

Инвариант — это величина, которая подвергаясь какому-либо преобразованию, остается неизменной. Примером может служить площадь параллелограмма, при параллельном переносе, координаты меняются, а его площадь нет, она инвариантна. Во множестве уравнений линии второго порядка в общем виде \(Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0\), у каждого уравнения тоже есть инварианты — некоторые числа, постоянные, относительно поворота и параллельного переноса, характерные только для конкретного уравнения.

  1. Сумма коэффициентов \(S=A+C\) при \(x^{2}, y^{2}\) является инвариантом.
  2. Определитель \(\delta =\begin{vmatrix}A & B\\ B & C\end{vmatrix}\)
  3. \(\Delta =\begin{vmatrix}A & B & D\\ B & C & E\\ D & E & F\end{vmatrix}\)

Подберем новую ортогональную систему координат \(\tilde{O}\tilde{X}\tilde{Y}\), такую, что уравнение \(Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F=0\) примет вид \(A_{1}\tilde{X}^{2}+C_{1}\tilde{Y}^{2}+F_{1}=0\). Заметьте, коэффициентов, отвечающих за поворот и перенос, нет, т.к. они равны нулю  (\(B_{1}=D_{1}=E_{1}=0\)). Инварианты уравнения \(S, \delta, \Delta\) не зависят от коэффициентов того или иного уравнения, поэтому справедливо следующее:  

  1. \(S=A+C=A_{1}+C_{1}\)
  2. \(\delta =\begin{vmatrix}A & B\\ B & C\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_{1} & B_{1}\\ B_{1} & C_{1}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A_{1} & 0\\ 0& C_{1}\end{vmatrix}=A_{1}\cdot C_{1}\)
  3. \(\Delta =\begin{vmatrix}A_{1} & B_{1} & D_{1}\\ B_{1} & C_{1} & E_{1}\\ D_{1} & E_{1} & F_{1}\end{vmatrix}=A_{1}\cdot C_{1}\cdot F_{1}\)

Алгоритм следующий:

  • находим инварианты: \(S, \delta, \Delta\)
  • решаем систему уравнений \(\left\{\begin{matrix}A_{1}+C_{1}=S\\ A_{1}\cdot C_{1}=\delta \\ A_{1}\cdot C_{1}\cdot F_{1}=\Delta \end{matrix}\right.\)
  • полученные числа-инварианты записываем в уравнение \(A_{1}\tilde{X}^{2}+C_{1}\tilde{Y}^{2}+F_{1}=0\), которое легко привести к каноническому виду

При этом, точка начала системы координат \(\tilde{O}(x_{0}; y_{0})\) находится с помощью решения системы линейных уравнений: \(\left\{\begin{matrix}Ax_{0}+By_{0}+D=0\\Bx_{0}+Cy_{0}+E=0\end{matrix}\right.\)

Угол поворота новой системы координат \(\tilde{O}\tilde{X}\tilde{Y}\), относительно старой, вычислим из формулы: \(tg 2\phi=\frac{2B}{A-C}\).

Пример: Привести уравнение \(13x^{2}+18xy+37y^{2}-26x-18y-27=0\) к каноническому виду. Найти точку начала новой системы координат и угол ее поворота.

Решение: Перейдем к новой системе координат \(\tilde{O}\tilde{X}\tilde{Y}\), тогда уравнение примет вид: \(A_{1}\tilde{x}^{2}+C_{1}\tilde{y}^{2}+F_{1}=0\). Найдем коэффициенты: \(A=13, B=9, C=37, D=-13, E=-9, F=-27\) и приступим к вычислению инвариантов: $$S=A+C=13+37=50$$ $$\delta =\begin{vmatrix}A & B\\ B & C\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}13 & 9\\ 9 & 37\end{vmatrix}=400$$ Последний определитель проще раскрыть с помощью элементарных преобразований: $$\Delta =\begin{vmatrix}A_{1} & B_{1} & D_{1}\\ B_{1} & C_{1} & E_{1}\\ D_{1} & E_{1} & F_{1}\end{vmatrix}=-40\cdot 400$$ Инварианты найдены, составим систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}A_{1}+C_{1}=50\\ A_{1}\cdot C_{1}=400\\ A_{1}\cdot C_{1}\cdot F_{1}=-40\cdot 400\end{matrix}\right.$$ Если возникли трудности с решением системы уравнений, обратитесь к уроку решение линейных уравнений. Значения неизвестных: \(A_{1}=10, C_{1}=40, F_{1}=-40\) найдены, составим уравнение: \(10\tilde{x}^{2}+40\tilde{y}^{2}-40=0\). Полученное уравнение легко привести к каноническому виду. Перенесем \(40\) в правую часть и разделим обе части на \(40\): \(\frac{\tilde{x}^{2}}{4}+\tilde{y}^{2}=1 \), и завершительный аккорд: \(\frac{\tilde{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{\tilde{y}^{2}}{1^{2}}=1 \). Готово. Из уравнения четко видна большая и малая полуоси: \(a=2, b=1\). Осталось лишь найти координаты центра \(\tilde{O}(x_{0}; y_{0})\) новой координатной системы \(\tilde{O}\tilde{X}\tilde{Y}\) и угол поворота. Для этого решаем систему: \(\left\{\begin{matrix}13x_{0}+9y_{0}-13=0\\9x_{0}+37y_{0}-9=0\end{matrix}\right.\). Расписывать подробно решение не будем, это тема другого урока, сразу запишем полученные координаты: \((x_{0}=1, y_{0}=0\), т.е. точка \(\tilde{O}(1; 0)\) является началом прямоугольной системы координат \(\tilde{O}\tilde{X}\tilde{Y}\), в которых, каноническое уравнение выглядит следующим образом: \(\frac{\tilde{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{\tilde{y}^{2}}{1^{2}}=1 \). Угол поворота найдем по формуле: \(tg 2\phi=\frac{18}{13-37}=-\frac{3}{4}\), отсюда \(\phi=-\frac{1}{2}\frac{arctg(-\frac{3}{4})}{2}=0.32\) рад.

Приведение нецентральной линии второго порядка к каноническому виду

Универсальный алгоритм приведения уравнения линии к каноническому виду состоит в следующем:

  • Вычислить угол поворота данной линии вокруг исходной системы координат \(OXY\)
  • В новой системе координат \(OX'Y'\) уравнение примет вид: \(A'x'^{2}+C'y'^{2}+2D'x'+2E'y'+F'=0\)
  • Далее, производится перенос линии в точку \(O'\), которая будет центром третьей системы координат \(O'X''Y''\), в которой уравнение будет иметь вид: \(A''x''^{2}+C''y''^{2}+F''=0\)

Пример: Привести уравнение \(x^{2}-2xy+y^{2}-2x+6y+4=0\) к каноническому виду.

Решение: Определим категорию линии: \(\delta = \begin{vmatrix}1 & -1\\-1 & 1\end{vmatrix}=0\), следовательно имеем дело с нецентральной линией. Произведем поворот, для этого найдем угол поворота: \(tg (\alpha) =-\frac{A}{B}\). Обратите внимание, данная формула справедлива только для параболического случая (\(\delta=0\). В нашем случае  \(tg (\alpha) =1 \Rightarrow \alpha=arctg(1)=\frac{\pi}{4}\) рад. 

При переходе к новой системе координат, повернутой некоторый на угол \(\alpha\), новые координаты выражаются аналитически: $$\left\{\begin{matrix}x=x'\cos\alpha-y'\sin\alpha\\ y=x'\sin\alpha+y'\cos\alpha\end{matrix}\right.$$ Из формул соответствующих тригонометрических формул \(tg^{2}\alpha +1=\frac{1}{\cos^{2}\alpha }\) и \(ctg^{2}\alpha +1=\frac{1}{\sin^{2}\alpha }\) можно выразить синус и косинус, но значение может быть неоднозначным: \(\cos\alpha=\pm \frac{1}{\sqrt{tg^{2}\alpha +1}}\) и \(\sin\alpha=\pm \frac{tg \alpha}{\sqrt{tg^{2}\alpha +1}}\). Рассмотрим вариант когда используя "положительные" версии синуса и косинуса, получилось неканоническое уравнение. Это может быть только в случае, когда ветви параболы развернуты в противоположную сторону. В таком случае рассматривают противоположный угол поворота \(\alpha+\pi\), при этом тангенс угла остается неизменным: \(tg(\alpha+\pi)=tg(\alpha)\), но формулы поменяют знаки: \(\cos\alpha=- \frac{1}{\sqrt{tg^{2}\alpha +1}}\) и \(\sin\alpha=- \frac{tg \alpha}{\sqrt{tg^{2}\alpha +1}}\).

Пусть \(\alpha=-\frac{3\pi}{3}\), подставим табличные значения \(\cos\alpha =-\frac{2}{\sqrt{2}}\) и  \(\sin\alpha =-\frac{2}{\sqrt{2}}\) в систему: $$\left\{\begin{matrix}x=-x'\frac{2}{\sqrt{2}}+y'\frac{2}{\sqrt{2}}\\ y=-x'\frac{2}{\sqrt{2}}-y'\frac{2}{\sqrt{2}}\end{matrix}\right.$$ Решаем систему, получаем уравнение: \(2y'^{2}-2\sqrt{2}x'-4\sqrt{2}y'+4=0\). Преобразуем уравнение: \((y'-\sqrt{2})^{2}=x'\sqrt{2}\), с центром в точке \(O'(0;\sqrt{2})\). С помощью параллельного переноса, перейдем к третьей системе координат \(O'X''Y''\): \(y''=y'-\sqrt{2}, x''=x' \Rightarrow y''^{2}=\sqrt{2}x''\), это и есть канонический вид уравнения.

Нет комментариев



ru |  en