Список статей

Мы в социальных сетях

       

Ранг матрицы

На этом уроке будет рассмотрено понятие ранга матрицы, примеры нахождения ранга и популярную задачу исследования системы уравнений на совместность.

Ранг матрицы — это количество линейно независимых столбцов или строк матрицы. Истолкуем понятие на примере векторной алгебры. Пусть строки матрицы — это координаты векторов. Тогда ранг такой матрицы будет являться числом линейно независимых векторов из этой матрицы. Из этого следует, что ранг матрицы не может превышать ее размер, а ранг нулевой матрицы равен нулю.

Метод миноров

На уроках нахождения обратной матрицы и определителя матрицы уже было рассмотрено понятие минора.

Минор — это определитель матрицы, составленный из элементов, находящихся на пересечении разных \(k\) строк и \(k\) столбцов. Порядок минора — число \(k\). На рисунке 1 представлен пример минора второго порядка (элементы минора находятся на пересечении красных строк и столбцов). Миноры высших порядков находятся аналогично. Заметьте, матрица не обязана быть квадратной.

Рассмотрим алгоритм поиска ранга матрицы с помощью миноров. Сразу условимся что матрица не нулевая (ранг нулевой матрицы равен нулю) и количество строк и столбцов больше или равно двум. Поиск ранга с помощью минора происходит следующим образом:

  1. Пусть начальный порядок минора \(i = 2\), размеры матрицы \([n \times m]\)
  2. Перебираем миноры \(i-го\) порядка до тех пор пока не найдем минор с ненулевым определителем
  3. Если такового нету, значит ранг матрицы равняется \(i-1\)
  4. Иначе — ранг матрицы не менее \(i\), увеличиваем \(i\) на единицу и переходим к пункту №2

Иными словами, максимальный порядок ненулевого минора и есть ранг матрицы. Как вы заметили, количество миноров может быть довольно большим, комбинаторная формула подсчета количества миноров выглядит так: $$C_{m}^{k}\cdot C_{n}^{k},$$ где \(m\) — количество столбцов, \(n\) — количество строк, \(k\) — порядок минора.

Минор второго порядка
Рисунок 1. Минор второго порядка

 

В некоторых случаях становится накладно перебирать все комбинации миноров, однако алгоритм дает неплохие результаты.

Метод Гаусса для нахождения ранга матрицы

Метод Гаусса является более удобным и быстрым, относительно минорного метода. Для качественного усвоения материала необходимо ознакомиться со статьей Метод Гаусса, посвященной решению систем линейных уравнений.

Идея метода относительно проста: привести матрицу к ступенчатому виду, т.е. с помощью элементарных преобразований, образовать нули ниже или выше главной диагонали. Это позволит "удалить" лишние пропорциональные (линейно зависимые) строки из матрицы. В результате останутся только линейно независимые строки. Получив ступенчатый вид останется только подсчитать количество строк, содержащих хотя бы один ненулевой элемент, это и будет ранг матрицы.

Исследование системы линейных уравнений на совместность

Система уравнений называется совместной, если имеет хотя бы одно решение. По теореме Кронекера-Капелли система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранги матрицы системы и расширенной матрицы совпадают.

Пример: Проверить совместность системы линейных уравнений: $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+3x_{2}+x_{3}=3 \\ x_{1}-2x_{2}+x_{3}=5\\x_{1}+5x_{2}-x_{3}=1\end{matrix}\right.$$

Перепишем систему в виде матрицы: $$\begin{pmatrix}1&3&1&3 \\ 1&-2&1&5\\1&5&-1&1\end{pmatrix}$$

Получилась расширенная матрицы системы, отбросьте последний столбец и получите основную матрицу системы, т.е. имеем "два в одном". По теореме, ранг расширенной матрицы и ранг основной матрицы должен совпадать, иначе система несовместна. Приведем систему к ступенчатому виду: 

  1. Умножим первую строку на \((-1)\) и прибавим результат ко второй и третьей строкам
  2. Умножим вторую строку на \(\dfrac{2}{5}\) и прибавим результат к третьей

Получим нули ниже главной диагонали: $$\begin{pmatrix}1&3&1&3 \\ 0&-5&0&2\\0&0&-2&-\frac{6}{5}\end{pmatrix}$$ Количество ненулевых строк расширенной матрицы равно трем, следовательно ранг расширенной матрицы \(rank(A_{ext})=3\), ранг основной матрицы так же равен трем \(rank(A)=3\), следовательно система совместна.

Нет комментариев



ru |  en