Список статей

Мы в социальных сетях

       

Системы линейных уравнений

Важной частью курса алгебры является решение системы линейных алгебраических уравнений (сокращенно СЛАУ). Система уравнений - это понятие знакомо еще со школы. Многие задачи из разных разделов алгебры решаются с помощью системы линейных уравнений.

Что такое "линейные уравнения"? В эти уравнения  входят только переменные первой степени. Обозначаются переменные буквами \(x, y, z\), либо \(x_{1}, x_{2}, x_{3}\), либо \(a, b, c\).

Решить систему линейных уравнений - это значит найти набор значений всех входящих в нее переменных, который обращает каждое уравнение в верное равенство.

Некоторые системы не имеют решений. В этом случае они называются несовместными.

Способов решения СЛАУ множество. Вот некоторые из них:

  • Решение системы линейных уравнений методом подстановки
  • Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы
  • Решение системы методом Крамера
  • Решение системы матричным методом (с помощью обратной матрицы)
  • Решение системы методом Гаусса

Рассмотрим некоторые из них.

Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Пример 1: Допустим, надо решить систему линейных уравнений: \(\left\{\begin{matrix}x-y+5=0\\ 2x+y+7=0\end{matrix}\right.\) Имеются два неизвестных \(х, y\) и свободные члены \(5\) и \(7\). Они расположены в левой части уравнения. Перенесем из в правую часть, меняя при переносе знак на противоположный: \(\left\{\begin{matrix}x-y=-5\\ 2x+y=-7\end{matrix}\right.\). Из первого уравнения выразим икс: \(x=y-5\), правую часть данного выражения вставляем во второе уравнение: \(2(y-5)+y+7=0\). В итоге имеем тривиальное уравнение с одной неизвестной. Находим игрек, а затем подставляем его в первое уравнение и находим икс. Ответ: \(x=-4, y=1\).

Случай с двумя переменными достаточно простой, но что делать когда система уравнений содержит три, четыре и более неизвестных переменных? На помощь приходят методы перечисленные в предыдущем параграфе.

Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы

Пример 2: Решить систему линейных уравнений из примера 1 методом почленного сложения уравнений системы: \(\left\{\begin{matrix}x-y+5=0\\ 2x+y+7=0\end{matrix}\right.\) Можно заметить, что коэффициенты при переменной \(y\) в первом и втором уравнениях одинаков, но с разными знаками. Сложим уравнения почленно, т.е. первый член первого уравнения сложим с первым членом второго уравнения, второй член первого уравнения со вторым второго и т.д. В итоге получим: \(3x+12=0\), Таким образом, мы избавились от переменной \(y\). Далее находим икс: \(x=-4\). Найти игрек зная икс не составит труда. Это можете сделать самостоятельно.

Пример 3: Решим следующую СЛАУ: \( \left\{\begin{matrix}3x+4y-2=0\\ 4x-3y-6=0\end{matrix}\right.\). Этот случай посложнее предыдущего, поскольку простое сложение двух уравнений никак нам не поможет, поэтому применим следующий трюк: нужно искусственно образовать одинаковые (по модулю) числа в первом и втором уравнении, что бы затем сложить их и получить сокращение одной из переменных. Такое число должно делиться на 3 и на 4 и быть как можно меньше, по научному - наименьшее общее кратное. В данном случае такое число будет равно 12-ти. Домножаем первое уравнение на 4, а второе на 3, получим: \(\left\{\begin{matrix}12x+16y-8=0\\ 12x-9y-18=0\end{matrix}\right.\) Осталось почленно вычесть второе уравнение из первого, получим:\(25y+10=0\). Далее игрек, а затем икс находятся тривиальным способом.

Метод Крамера

Рассмотрим систему уравнений \(\left\{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y=s_{1}\\ a_{2}x+b_{2}y=s_{2}\end{matrix}\right.\)

Вычислим главный определитель системы \(\Delta =\begin{vmatrix}a_{1} & b_{1}\\ a_{2} & b_{2}\end{vmatrix}\).

Если \(\Delta=0\) система имеет бесконечно много решений или несовместна (т.е. не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса. Если \(\Delta\neq 0\) система имеет одно решение.

Находим корни уравнения. Для этого вычисляем два определителя: \(\Delta_{x} =\begin{vmatrix}s_{1} & b_{1}\\ s_{2} & b_{2}\end{vmatrix}\Delta_{y} =\begin{vmatrix}a_{1} & s_{1}\\ a_{2} & s_{2}\end{vmatrix}\).

Корни уравнения находим по формулам:
\(x=\frac{\Delta_{x}}{\Delta} y=\frac{\Delta_{y}}{\Delta}\).

Пример 4: Решите уравнение \(\left\{\begin{matrix}506a+66b=2315,1\\ 66a+11b=392,3\end{matrix}\right.\) 

Решение: Высчитаем детерминант: \(\Delta =\begin{vmatrix}506 & 66\\ 66 & 11\end{vmatrix}=506\cdot 11-66\cdot 66=1210\neq 0\), следовательно система имеет единственное решение. $$\Delta_{a}=\begin{vmatrix}2315,1 & 66\\ 392,3& 11\end{vmatrix}=-425,7$$ $$\Delta_{b}=\begin{vmatrix}506 & 2315,1\\ 66& 392,3\end{vmatrix}=45707,2$$ Далее, по формулам высчитываем неизвестные из деления определителей: \(a=-0.35, b=37,77\).

Для случая матрицы с тремя неизвестными все будет аналогично, только придется считать три определителя (для каждой неизвестной): $$D_{1}=\begin{vmatrix}s_{1} & b_{1} & c_{1}\\ s_{2} & b_{2} & c_{2}\\ s_{3} & b_{3} & c_{3}\end{vmatrix}D_{2}=\begin{vmatrix}a_{1} & s_{1} & c_{1}\\ a_{2} & s_{2} & c_{2}\\ a_{3} & s_{3} & c_{3}\end{vmatrix}D_{3}=\begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} & s_{1}\\ a_{2} & b_{2} & s_{2}\\ a_{3} & b_{3} & s_{3}\end{vmatrix}$$

Решение системы с помощью обратной матрицы

Для того чтобы решить систему уравнений этим способом, надо уметь находить обратную матрицу.

Пример 5: Решить систему уравнений \(\left\{\begin{matrix}3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}=21\\ 3x_{1}+4x_{2}-2x_{3}=9\\ 2x_{1}-x_{2}-x_{3}=10\end{matrix}\right.\) Перепишем систему в матричной форме: $$A=\begin{pmatrix}3 & -2 & 4\\ 3 & 4 & -2\\2 & -1 & -1\end{pmatrix} X=\begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2}\\ x_{3}\end{pmatrix} b=\begin{pmatrix}21 \\ 9\\ 10\end{pmatrix}$$ Если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице \(A\) нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле: \(X=A^{-1}b\). Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу \(A^{-1}\) и выполнить умножение матриц.

Обратную матрицу найдем по формуле: \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^{T}\), где \(A^{T}\) - транспонированная матрица алгебраических дополнений. Подробно рассматривать нахождения обратной матрицы мы не будем, поскольку это тема урока Обратная матрица. Сразу запишем результат: $$A^{-1}=\frac{1}{-60}\begin{pmatrix}-6 & -6 & 12\\ -1 & -11 & \\ 18-11 & -1 & 18\end{pmatrix}$$

Перемножим матрицы: $$X=A^{-1}b=\frac{1}{-60}\begin{pmatrix}-6 & -6 & 12\\ -1 & -11 & \\ 18-11 & -1 & 18\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}21\\ 9\\ 10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\ -1\\ 1\end{pmatrix}$$

На сегодня все, следующий урок будет посвящен методу Гаусса.

Нет комментариев



ru |  en