Список статей

Мы в социальных сетях

       

Скалярное произведение векторов

На предыдущем уроке Вектор для начинающих были рассмотрены операции сложение векторов и умножение вектора на число. Помимо этих действий мы рассмотрим:

  • скалярное произведение векторов
  • векторное произведение векторов
  • смешанное произведение векторов

Скалярное произведение векторов обычно изучается в школе, векторное и смешанное относят к разделу высшей математике - векторной алгебре. Темы нельзя отнести к сложным, а алгоритмы решений достаточно прозрачны.

Скалярное произведение векторов. Свойства. Решение задач

Понятие скалярного произведения

угол между векторами
Рисунок 1. Угол между векторами

Если от произвольной точки \(M\) отложить два произвольных вектора \(\vec{a}, \vec{b}\), то получим некоторый угол \(\phi\) между векторами, который может принимать значения от 0 до 180 градусов (\(0 \leqslant \phi \leqslant \pi\)). Скалярным произведением двух векторов называют число, равное произведению модулей векторов на косинус \(\phi\): \(\vec{a}\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\phi)\).
Пример: Найти скалярное произведение векторов \( \vec{a}, \vec{b}\), если \(|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=4, \phi=\frac{\pi}{6}\).
Решение: \(\vec{a}\vec{b}=2 \cdot 4\cos(\frac{\pi}{6}) = 8\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} \).

Значение скалярного произведения. Угол между векторами

Скалярное произведение не всегда получается положительным (см. пример выше), встречаются случаи когда оно принимает отрицательные значения. Модули вектора не бывают отрицательными, следовательно давать знак минус может только косинус. Бывают следующие случаи:

  • Угол острый при \(0 < \phi < \frac{\pi}{2}\), \(\cos(\phi) > 0\). Особый случай, когда векторы сонаправлены и \(\cos(0)=1\)
  • Угол тупой \(\frac{\pi}{2} < \phi < \pi\), \(\cos(\phi) < 0\), произведение будет отрицательным (тоже при \(\phi = \pi\))
  • Угол \(\phi = \frac{\pi}{2}\), произведение будет нулевым

Третий случай можно сформулировать так: скалярное произведение равно нулю, только если векторы ортогональны: \(\vec{a}\vec{b}=0 \Leftrightarrow \vec{a}\parallel \vec{b}\).

Свойства скалярного произведения

В ситуации, когда векторы сонаправлены, угол между ними равен нулю, а значит формула скалярного произведения изменяется следующим образом: \(\vec{a}\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\), поскольку \(\cos(0) = 1\). При умножении вектора самого на себя получим формулу:\(\vec{a}\vec{a}=|\vec{a}||\vec{a}|=|\vec{a}|^{2}\). Это число называется скалярным квадратом и записывается в виде: \(\vec{a}^{2}\). Длину вектора можно вычислить по формуле: \(|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}^{2}}\).

Свойства скалярного произведения для трех произвольных векторов \(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\) и произвольного числа \(\lambda\):

  • Коммутативный (переместительный): \(\vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}\)
  • Дистрибутивный - можно раскрыть скобки: \(\vec{c}(\vec{a}+\vec{b})=\vec{a}\vec{c}+\vec{b}\vec{c}\)
  • Ассоциативный - константу можно вынести за скобки: \( (\lambda\vec{a})\vec{b}= \lambda(\vec{a})\vec{b}\)

Пример: Найти скалярное произведение векторов \(\vec{c}=3\vec{a}-\vec{b}, \vec{d}=\vec{a}+2\vec{b}\), при \(\vec{a}=2, \vec{b}=5, \phi=\frac{\pi}{4}\).
Решение: Применяем формулу \(\vec{c}\vec{d}=|\vec{c}||\vec{d}|\cos(\frac{\pi}{4})\), однако длины векторов \(\vec{c}, \vec{d}\) не заданы, поэтому подставляем в формулу выражения из условия: \((3\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}+2\vec{b}) = 3\vec{a}^{2}+6\vec{a}\vec{b}-\vec{a}\vec{b}-2\vec{b}^{2} = 3\vec{a}^{2}+5\vec{a}\vec{b}-2\vec{b}^{2}\). В первом и третьем слогаемом используем формулу скалярного квадрата \(\vec{a}\vec{a}=|\vec{a}||\vec{a}|=|\vec{a}|^{2}\), во втором формулу \(\vec{a}\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\phi)\), получим: \(3|\vec{a}|^{2}+5|\vec{a}||\vec{b}|\cos(\frac{\pi}{4})-2|\vec{b}|^{2}\). Подставляем данные из условия: \(3|4|+5|2||5|(\frac{1}{\sqrt(2)})-2|25| = 12+\frac{50}{\sqrt(2)}-50 = -36.58\). Готово.

Угол между векторами

Если заданы модули двух векторов и их скалярное произведение, то угол между этими векторами считается по формуле: \(\cos(\phi) = \frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \Rightarrow \phi = \arccos(\frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|})\). Второй раздел так же будет тоже посвящен произведению, но в координатах.

Скалярное произведение векторов в координатах. Решение задач

Стоит отметить что повествование идет только о векторах в ортонормированных базисах плоскости и пространства.

Скалярное произведение для координат

Скалярное произведение векторов \(\vec{a}(a_{1};a_{2})\) и \(\vec{b}(b_{1}, b_{2})\) в базисе \((\vec{i}; \vec{j})\) высчитывается формулой: \(\vec{a}\vec{b} = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2} \). Для векторов \(\vec{a}(a_{1}; a_{2}; a_{3})\) и \(\vec{b}(b_{1}; b_{2}; b_{3})\) в базисе \((\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})\), формула выглядит аналогично: \(\vec{a}\vec{b} = a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\).
Пример: Найти скалярное произведение векторов \(\vec{a}(2; -5)\) и \(\vec{b}(-1; 0)\)
Решение: Используем формулу \(\vec{a}\vec{b} = 2(-1)+(-5)0 = -2\). Произведение отрицательное, значит угол между векторами тупой.

Доказательство ортогональности векторов

Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) ортогональны, только если \(\vec{a}\vec{b} = 0\).
Пример: Проверить ортогональность векторов \(\vec{a}(1; 2)\) и \(\vec{b}(2; 4)\).
Решение: Просто находим произведение \(\vec{a}\vec{b} = 1(2)+(2)4 = 10\), векторы не ортогональны, поскольку произведение не равно нулю.

Еще одна интересная задача, которую можно встретить в контрольных и индивидуальных домашних заданиях, формулируется следующим образом:
Найти некоторое число \(\lambda\), при котором векторы \(\vec{a}(1; 2+\lambda)\) и \(\vec{b}(\lambda; 4)\) будут ортогональными.
Решение: По формуле \(\vec{a}\vec{b} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}= 0\), составим уравнение: \(1\lambda + (2+\lambda)4 = 0\), отсюда имеем \(\lambda = -\frac{8}{5}.\)

Формула косинуса угла между векторами через координаты

Формула \( \cos \angle (\vec{v};\vec{w}) = \frac{\vec{v}\vec{w}}{|\vec{v}||\vec{w}|}\) для двумерного случая в базисе \((\vec{i}; \vec{j})\) выглядит следующим образом: \(\cos \angle (\vec{v};\vec{w}) = \frac{v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}}{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}\sqrt{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}}\). Для векторов \(\vec{v}(v_{1}; v_{2}; v_{3})\) и \(\vec{w}(w_{1}; w_{2}; w_{3})\) в базисе \((\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})\) формула имеет следующий вид: \(\cos \angle (\vec{v};\vec{w}) = \frac{v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}}{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}+\sqrt{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}\).

Проекция вектора на вектор, координатные оси.

Что бы спроецировать вектор \(\vec{a} \) на вектор \(\vec{b} \), из концов вектора \(\vec{a} \) опускаются перпендикуляры на \(\vec{b} \). На рисунке 2 изображена проекция красного вектора на синий. Пусть красный и синий векторы \(\vec{a}, \vec{b} \) соответственно, тогда проекция запишется так: \(\mathit{Пр}_{\vec{b}}\vec{a}\). Что будет если вектор \(\vec{b} \) будет короче \(\vec{a}\)? Ничего страшного, просто \(\vec{a} \) будет проецироваться на "направление" вектора \(\vec{b} \). Если угол между векторами тупой, то проекция будет отрицательной, если острый – положительной, а при нулевом угле, проекция равна нулю. Формулу проекции можно выразить через скалярное произведение векторов: \(\mathit{Пр}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\).

Проекция вектора
Рисунок 2. Проекция вектора

Если векторы заданны в координатах плоскости \(\vec{v}(v_{1}; v_{2})\vec{w}(w_{1}; w_{2})\) в ортонормированном базисе \((\vec{i}; \vec{j})\), то формула проекции выглядит так: \(Пр_{ \vec{w}}\vec{v}=\frac{v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}}{\sqrt{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}}\).
Если векторы заданны в координатах пространства \(\vec{v}(v_{1}; v_{2}; v_{3})\vec{w}(w_{1}; w_{2}; w_{3})\) в ортонормированном базисе \((\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})\), то формула проекции выглядит так: \(Пр_{\vec{w}}\vec{v} = \frac{v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}}{\sqrt{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}}}\).

Направляющие косинусы и проекция вектора на координатные оси

На рисунке 3 изображен синий вектор \(\vec{v}(v_{1}; v_{2})\) на плоскости, в ортонормированном базисе \((\vec{i}; \vec{j})\).

Направляющие косинусы
Рисунок 3. Направляющие косинусы

Проекции на ось \(x\) и ось ось \(y\) соответственно равны значениям координат вектора. Красный угол \(\alpha\) расположен между длинной \(|\vec{v}|\) и \(\vec{v}_{1}\), Аналогично зеленый угол между \(|\vec{v}|\) и \(\vec{v}_{2}\). Направляющие косинусы вектора \(\vec{v}(v_{1}; v_{2})\) выражаются формулами: \(\cos(\alpha) =\frac{v_{1}}{|\vec{v}|}, \cos(\beta) =\frac{v_{2}}{|\vec{v}|}\). Кроме того, для любого ненулевого вектора выполнится: \( \cos(\alpha)^{2} +\cos(\beta)^{2}=1\).
Для трехмерного случая все практически так же: \( \cos(\alpha)^{2} +\cos(\beta)^{2} +\cos(\gamma)^{2}=1\). А направляющие косинусы выражаются так: \(\cos(\alpha) =\frac{v_{1}}{|\vec{v}|}, \cos(\beta) =\frac{v_{2}}{|\vec{v}|}, \cos(\gamma) =\frac{v_{3}}{|\vec{v}|}\). Через направляющие косинусы можно выразить координаты вектора. Например: \(\vec{v}_{1}=|\vec{v}|\cos(\alpha) \), аналогично выражаются остальные.
Ссылка на следующий урок Понятие линейной зависимости векторов.

Нет комментариев



ru |  en