Список статей

Мы в социальных сетях

       

Свойства определителя. Понижение порядка определителя

Понятие определителя подробно рассматривалось на уроке Как найти определитель матрицы и Обратная матрица. Данная тема предназначена для повышения ваших навыков в вычислении определителя. Напомним, определитель (или детерминант) матрицы – одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач. Определитель обычно обозначается  \(det(A), |A|, или \Delta(A)\).

Рациональные методы вычисления определителя третьего порядка

Определитель третьего порядка можно раскрыть 6-ю способами. Какой-то из этих методов более сложный, какой-то более простой. Предлагаем рассмотреть более рациональные методы.

Если в строке (или столбце) определителя  два нуля, решать этот определитель проще.

$$\begin{vmatrix}5&2&-3\\ 3&-1&4\\0&2&0 \end{vmatrix}$$ Т.к.в третьей строке два 0, раскроем определитель по третьей строке $$\begin{vmatrix}5&2&-3\\ 3&-1&4\\0&2&0 \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix}5& -3\\ 3 &4 \end{vmatrix}=-2(20+9)=-58$$

Пример решен.

Иногда встречаются определители, имеющие ступенчатый (или треугольный) вид. В таком определители числа, которые расположены под главной диагональю равны нулю. Для ступенчатых определителей существует правило: Ступенчатый определитель равен произведению чисел его главной диагонали. Для ступенчатых определителей других порядков этот принцип тоже работает.

В случае, когда в матрице нет нулей, следует выбирать столбец/строку, в котором расположены самые маленькие числа. Сформулируем микровывод: всегда выгоднее вычислять определитель по той строке/столбцу, где больше нулей или маленькие числа.

Свойства определителя

Для того, чтобы легче разобраться со свойствами определителя и не путать их со свойствами матрицы, напоминаем, что матрица это таблица элементов, а определитель это число.

Определитель имеет следующие свойства:

  1. Определитель единичной матрицы равен единице: \(det(E) = 1\)
  2. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку или столбец, равняется нулю.
  3. Определитель матрицы, содержащей две пропорциональные строки или столбцы, равняется нулю.
  4. Определитель матрицы с двумя равными строками или столбцами равняется нулю.
  5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцов) матрицы линейно зависимы.
  6. При транспонировании матрицы, значение определителя не меняется: \(det(A) = det(A^{T})\)
  7. Определитель обратной матрицы: \(det(A^{-1}) = det(A)^{-1}\)
  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
  9. Общий множитель в строке или столбце можно вынести за знак определителя. 
  10. Если в матрице поменять местами две строки или столбца, то определитель поменяет знак.
  11. Определитель матрицы не изменяется в том случае, когда к какой-либо его строке или столбцу прибавить линейную комбинацию других строк/столбцов.
  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: \(B = k\cdot A   \Rightarrow   det(B) = k^{n}·det(A)\), где \(A\) матрица \(n\times n, k\) – число.
  13. Если каждый элемент в какой-либо строке определителя равняется сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.
  14. Определитель верхней/нижней треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов матрицы.
  15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: \(det(A\cdot B) = det(A)\cdot det(B)\)

Пользуясь вышеизложенными свойствами, вы можете преобразовать матрицу к виду, в котором определитель высчитывается проще и быстрее. Например, не редко помогает домножение матрицы на дробь или транспонирование с целью упрощения подсчета детерминанта.

Понижение порядка определителя

Для лучшего усвоения материала рекомендуется ознакомиться с уроком (ссылка) метод гаусса и уметь пользоваться элементарными преобразованиями. Смысл метода заключается в следующем: к строке матрицы, можно прибавить другую строку, умножив ее на некоторое значение отличное от нуля. В этом случае величина детерминанта не изменится. Не запутайтесь, при элементарных преобразованиях изменяется строка к которой прибавляют другую строку. Вышеизложенный метод преобразований можно применять и к столбцам аналогично.

Пример: Вычислить определитель заданной матрицы: $$\begin{vmatrix}5&-2&4\\ 2&-1&1\\-2&2&-3 \end{vmatrix}$$

Решение: В данном случае будет выгодно понизить порядок определителя с помощью образования нулей во второй строке. Для этого проведем некоторые элементарные преобразования. Для начала прибавим к первому столбцу второй столбец, предварительно умноженный на два, получится: $$\begin{vmatrix}1&-2&4\\ 0&-1&1\\2&2&-3 \end{vmatrix}$$ Теперь к третьему столбцу следует прибавить второй столбец, умноженный на единицу: $$\begin{vmatrix}1&-2&2\\ 0&-1&0\\2&2&-1 \end{vmatrix}$$ Теперь высчитать определитель гораздо проще: $$\begin{vmatrix}1&-2&2\\ 0&-1&0\\2&2&-1 \end{vmatrix}=-1\begin{vmatrix}1 & 2\\ 2 & -1\end{vmatrix}=-(-1-4)=5$$

Следующий урок посвящен теме матричных уравнений (ссылка).

Нет комментариев



ru |  en