Список статей

Мы в социальных сетях

       

Уравнение прямой на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Освежим в памяти школьную формулу прямой: \(y=kx+b\), она называется уравнение прямой с угловым коэффициентом \(k\). Коэффициент данного уравнения можно вычислить через угол \(\phi\), между положительным направлением координатной оси \(OX\) и прямой. Формула выглядит следующим образом: \(k=\tan(\phi)\). По значению коэффициента \(k\) можно определить степень наклона прямой, чем \(k\) больше по модулю, тем круче наклон прямой. Обратное утверждение верно.

Как составить уравнение прямой, по точке лежащей на прямой

Когда известен угловой коэффициент \(k\) и точка \(M(x_{0}; y_{0})\), лежащая на данной прямой, уравнение прямой будет составлено следующим образом: \(y-y_{0}=k(x-x_{0})\).

Пример:

Общее уравнение прямой

В высшей математике используют версию формулы прямой, которая немного отличается от своего школьного аналога. Называется формула общим уравнением прямой и выглядит так: \(Ax+By+C=0\), где \(A, B, C\) произвольные числа, причем \(A, B\) не могут быть одновременно нулевыми (иначе уравнение потеряет весь смысл).

Направляющий вектор прямой

Любая прямая на плоскости имеет некоторый наклон, которому соответствует вектор, который называется направляющим вектором прямой. Обозначим направляющий вектор \(\vec{p}(p_{1}; p_{2})\). Если известен направляющий вектор  \(\vec{p}(p_{1}; p_{2})\) прямой и точка \(M(x_{0}; y_{0})\), лежащая на прямой, можно составить уравнение прямой: \(\frac{x-x_{0}}{p_{1}}=\frac{y-y_{0}}{p_{2}}\). Это уравнение называется каноническим уравнением прямой. Стоит заметить, что направляющий вектор не может быть нулевым, т.к. нулевой вектор не задает направления.

Направляющий вектор по общему уравнению прямой

Когда прямая задана общим уравнением прямой, т.е. в виде  \(Ax+By+C=0\), то направляющий вектор  \(\vec{p}(p_{-B}; p_{A})\).

Уравнение прямой по двум точкам

Если известны две точки на плоскости \(M_{0}(x_{0}; y_{0}), M_{1}(x_{1}; y_{1})\), которые не совпадают, то уравнение прямой можно составить следующим образом: \(\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}\). Обратите внимание, последняя формула является вариацией формулы \(\frac{x-x_{0}}{p_{1}}=\frac{y-y_{0}}{p_{2}}\) из предыдущего раздела. Дело в том, что вектор \(\vec{M_{0}M_{1}}\) является направляющим вектором данной прямой, а разность координат этих двух точек соответствует значениям \((p_{1}, p_{2})\).

Вектор нормали

Начнем с определения нормали. Нормаль к линии в заданной точке - это прямая, проходящая через данную точку и перпендикулярная касательной прямой. Если прямая задана в общем виде  \(Ax+By+C=0\) в прямоугольной системе координат, то вектор \(\vec{n}(A; B)\) является вектором нормали заданной прямой. Направляющий вектор прямой и вектор нормали перпендикулярны (ортогональны).

Как составить уравнение прямой, зная точку и вектор нормали

При условии, что известен вектор нормали \(\vec{n}\) и точка \(M_{0}(x_{0}; y_{0})\), принадлежащая прямой, то уравнение прямой будет выглядеть следующим образом: \(n_{1}(x-x_{0}) + n_{2}(y-y_{0}) = 0\).

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение, задающее прямую в отрезках \(\frac{x}{M}+\frac{y}{N}=1\),где \(M, N\) ненулевые константы. Это уравнение является не самостоятельной формулой, а скорее техническим приемом. В уравнении прямой в отрезках легко вычислить точки пересечения прямой с координатными осями. К примеру, что бы найти точки пересечения прямой с осью \(OX\), нужно обнулить игрек, получим \(\frac{x}{M}=1 \Rightarrow A(M; 0)\). В точке \(A\) происходит пересечение прямой с осью иксов.

Параметрическое уравнение прямой

Пусть есть некоторая точка \(M(x_{0}; y_{0})\), принадлежащая прямой, а так же направляющий вектор \(\vec{p}(p_{1}; p_{2})\), тогда параметрическое уравнение прямой выглядит следующим образом: $$\left\{\begin{matrix}x=p_{1}t+x_{0}\\ y=p_{2}t+y_{0}\end{matrix}\right.$$.

Пример: Составить параметрическое уравнение прямой, имея направляющий вектор \(\vec{p}(3; 6)\) и точку, принадлежащую прямой \(M(2; 0)\).

Решение: Подставляем данные в формулу и получаем: $$\left\{\begin{matrix}x=p_{1}t+x_{0}\\ y=p_{2}t+y_{0}\end{matrix}\right.=\left\{\begin{matrix}x=3t+2\\ y=6t+0\end{matrix}\right.$$.

На сегодня это все. Следующая статья будет посвящена другим задачам с прямой на плоскости.

Нет комментариев



ru |  en