Список статей

Мы в социальных сетях

       

Вектор для начинающих

Введение

Аналитическая геометрия является разделом геометрии, исследующем геометрические фигуры и их свойства средствами алгебры на основе метода координат, впервые примененный французским ученым Рене Декартом. Методы аналитической геометрии применяются к фигурам на плоскости, поверхностям трехмерного пространства и пространств больших размерностей.

Векторы. Действия с векторами. Координаты вектора. Простые операции над векторами

Определение вектора

Вектор – это направленный отрезок, имеющий начало и конец, обозначается (например: \(\overline{AB}\) (здесь подразумевается что \(A\) – начало вектора, а \(B\) – конец) или \(\vec{a}\)). Простой пример вектора представлен на рисунке 1. Направление вектора играет важную роль, так вектор \(\overrightarrow{AB}\) и вектор \(\overrightarrow{BA}\) отличаются направлением и являются совершенно разными векторами.

Нулевой вектор – отдельная точка пространства или плоскости, начало и конец такого вектора совпадает. Направление такого вектора не определено. Следует отметить, что векторы лежат в одной плоскости или же расположены в пространстве, суть нижеследующего материала не изменяется. Длина вектора (модуль вектора) – это длина отрезка AB. Для нулевого вектора модуль равен нулю.

вектор
Рисунок 1. Простой вектор

Длина вектора обозначается знаком модуля. В аналитической геометрии будет рассматриваться свободный вектор, т.е. такой вектор, который можно отложить от любой точки (см. рисунок 2). Свободный вектор – множество одинаково направленных векторов, это значит что такой вектор можно построить в любой точке пространства. Далее описываются именно свободные вектора.

Действия с векторами, коллинеарность и проекция вектора

Проекция вектора \(\vec{a}\) на ось \(U\) называется число, равное \(|a|\cos \varphi\), где \(|a|\cos \varphi\). Проекцию можно представить как расстояние между точками (на оси \(U\)), в которые "упали" точка начала вектора и точка конца. К линейным операциям над векторами относят:

1) Сложение векторов по правилу треугольников

 Правило треугольника
Рисунок 2. Правило треугольника

В школьном курсе геометрии рассматривают некоторые правила работы с векторами. Рассмотрим сложение векторов по правилу треугольников и умножение вектора на число. Пусть есть два ненулевых вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). (см. рисунок 3). Нужно найти сумму векторов, это делается следующим образом: от конца вектора \(\vec{a}\) (синий) откладывается вектор \(\vec{b}\) (сиреневый). Результатом будет красный вектор \(\vec{c}\).

Свободный вектор
Рисунок 3. Свободный вектор

Пару слов о коллинеарности. Два вектора коллинеарны в случае, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой. Векторы компланарны, если параллельны одной плоскости. Если векторы указывают в одно направление, они называются сонаправленными, иначе – противоположно направленными. Обозначается коллинеарность знаком параллельности (\(\vec{a}\parallel \vec{b}\)). Два вектора равны, если они одинаково направлены, коллинеарны и их модули равны.

2) Умножение вектора на число

Свободный вектор
Рисунок 4. Свободный вектор

Произведение ненулевого вектора \(\vec{a}\) на число \(\lambda \) называется вектор \(\vec{b}\) , длина которого \(|\lambda||\vec{a}|\). При \(\lambda >= 0 \) векторы сонаправлены, и противоположно направлены в ином случае, при \(\lambda < 0\). Условие равенства двух векторов: сонаправлены и имеют одинаковый модуль. На рисунке 4 больший синий вектор является исходным, а меньший – исходный, умноженный на 0.5.

Координаты векторов в двумерном и трехмерном случае

Ортонормированный базис
Рисунок 5. Ортонормированный базис

Сначала рассмотрим двумерный случай, представленный на рисунке 5. Векторы \((\vec{i},\vec{j})\) ортогональны (перпендикулярны), это свойство обозначается знаком перпендикулярности. Эти два вектора называются ортами или координатными векторами. \(\vec{i}\vec{j}\) образуют базис на плоскости (см. базис векторов). Базис векторов – это некоторое множество векторов (в векторном пространстве) с помощью линейной комбинации которого возможно представить единственным образом любой вектор этого пространства.

Иногда базис \((\vec{i},\vec{j})\) называют ортонормированным (орто – перпендикулярный, прямоугольный и нормированный - единичный). Модули \((\vec{i},\vec{j})\) равны 1. Базис, как правило, записывают в круглых скобках, соблюдая строгую последовательность базисных векторов. Любой вектор на плоскости единственным образом можно выразить в виде: \(\vec{v}=v_{1}\vec{i}+v_{2}\vec{j}\), где \(v_{1}, v_{2}\) – координаты вектора в заданном базисе. А выражение \(\vec{v}=v_{1}\vec{i}+v_{2}\vec{j}\) называется разложением вектора по базису \((\vec{i},\vec{j})\) . Для трехмерного пространства, будут действовать те же законы, добавится только еще одна переменная. Базис будет выглядеть следующим образом: \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\), а разложение: \(\vec{j}=(v_{1}\vec{i},v_{2}\vec{j},v_{3}\vec{k})\).

Простые задачи и действия с векторами в аналитической геометрии

Далее рассмотрим типичные задачи, связанные с векторами. Желательно усвоить этот материал и запомнить основные формулы.

Найти вектор по двум точкам

Итак, дано: \(A(x_{1};y_{1}), B(x_{2};y_{2})\), тогда такая задача решается по формуле: \(\overline{AB}=x_{2}-x_{1}; y_{2}-y_{1}\). В трехмерном случае, формулы выглядят аналогично: \(A(x_{1};y_{1};z_{1}), B(x_{2};y_{2};z_{1})\); \(\overline{AB}=x_{2}-x_{1}; y_{2}-y_{1}; z_{2}-z_{1}\). Иными словами, из координат конца вектора нужно вычесть координаты начала. Важно понимать различие между координатами вектора и координатами точек. Координаты вектора - это его разложение по ортонормированному базису, например: \(\overline{AB}=5\vec{i}+3\vec{j}\)/ Дело в том, что вектор свободный, а значит его можно отложить от любой точки пространства.

Найти длину отрезка

Даны две точки: \(A(x_{1};y_{1}); B(x_{2};y_{2})\), тогда модуль вектора \(|AB|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}\). Для трехмерного случая имеем аналогичные формулы: \(A(x_{1};y_{1};z_{1}); B(x_{2};y_{2};z_{1})\), тогда \(|AB|=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}+ (z_{2}-z_{1})^{2}}\).

Найти модуль вектора

Для вектора \(\vec{v}(v_{1};v_{2})\) длина находится по формуле: \(\vec{v}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}\). Для трехмерного случая, соответственно: \(\vec{v}(v_{1};v_{2};v_{3})\) модуль равен \(\vec{v}=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}}\).

Действия с векторами заданными координатами

Ранее были рассмотрены примеры с упором на графический смысл и обоснование. Теперь проведем обзор правил для аналитических подсчетов.

1) Сложение векторов

Рассмотрим два вектора: \({\overrightarrow{v}=(v_1;v_2)}\) и \({\overrightarrow{w}=(w_1;w_2)}\). Для сложения этих двух векторов следует сложить их координаты: \(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=(\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{w_1};\ \overrightarrow{v_2}+\overrightarrow{w_2}\ \) Формула разности: \(\overrightarrow{v}-\overrightarrow{w}=(\overrightarrow{v_1}-\overrightarrow{w_1};\ \overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{w_2})\) Для трехмерного случая формулы останутся те же, только добавится третья переменная.

2) Умножение вектора на число

Что бы умножить вектор \(\vec{a}\) на число \(\lambda\), следует умножить каждую координату вектора на число \(\lambda\): \(\lambda\vec{a}=(\lambda v_{1};\lambda v_{2}) \). Для трехмерного случая: \(\lambda\vec{a}=(\lambda v_{1};\lambda v_{2};\lambda v_{3}) \) Пример: Даны векторы \(\vec{a}(3;5), \vec{b}(2;6)\). Найти: \(2\vec{a}, \vec{a}-3\vec{b}\).
Решение: \(2\vec{a}= (2a_{1}, 2a_{2}) = \vec{a}(6;10)\). Второй пример немного сложнее, сначала умножим тройку на \(\vec{b}\), затем произведем вычитание. \(3\vec{b}= (3b_{1}, 2b_{3}) = \vec{b}(6;18)\), \(\vec{a}(3;5)-\vec{b}(6;18) = \vec{c}(-3;-13)\), готово.

На этом уроке были рассмотрены определения связанные с векторами и простейшие операции на плоскости и в пространстве. В следующих уроках будут рассмотрены темы скалярного произведения векторов, линейной зависимости (независимости) векторов и понятие базиса вектора.
Следующий урок Вектор. Скалярное произведение.

Нет комментариев



ru |  en