Список статей

Мы в социальных сетях

       

Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов

Векторное произведение векторов

В операции векторного произведения участвуют два вектора \(\vec{a}, \vec{b}\). Операция обозначается следующим образом: \([\vec{a}\times \vec{b}]=\vec N\) В предыдущем уроке Скалярное произведение векторов мы рассматривали скалярное произведение векторов, результатом которого было число (скаляр). В результате векторного произведения получится вектор. Перейдем к определению. Векторным произведением неколлинеарных векторов \([\vec{a}\times \vec{b}] \), взятых в строгом порядке, называется результирующий вектор \(\vec N\), длина которого численно равна площади параллелограмма, образованного векторами \(\vec{a}, \vec{b}\). Вектор \(\vec N\) ортогонален \(\vec{a}, \vec{b}\), вместе они образуют базис, имеющий правую ориентацию. Рассмотрим рисунок 1.

векторное произведение
Рисунок 1. Векторное произведение

Синим и фиолетовым цветами соответственно изображены вектор \(\vec{a}\) и вектор \(\vec{b}\). Красным - вектор \(\vec N\). Обратите внимание что важен порядок, вектор \(\vec{a}\) был умножен на \(\vec{b}\), а не наоборот. Если сделать наоборот, то результирующий вектор будет смотреть "вниз", т.е. \([\vec{a}\times \vec{b}]=-[\vec{b}\times \vec{a}]\). Выше было сказано, что длина результирующего вектора численно равна площади параллелограмма, образованного векторами \(\vec{a}, \vec{b}\). По определению площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними. Исходя из этого запишем формулу вычисления длины векторного произведения: \(|\vec{N}| = |[\vec{a}\times \vec{b}]|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin (\phi)\).

В определении прозвучала фраза "правая ориентация", разберемся с этим понятием. Для простоты воспользуемся правилом правой руки: Представьте, что начало всех трех векторов и ваша правая рук находится в одной точке. Теперь совместите большой палец с первым вектором, затем указательный палец со вторым вектором базиса. Если возможно совместить средний палец с третьим вектором, то вы имеете дело с правосторонней ориентацией пространства, иначе с левой.

Пару слов о векторном произведении коллинеарных векторов. Поскольку угол между векторами нулевой, а синус нуля (или 180-ти градусов) равен нулю, то и площадь параллелограмма и длина вектора равна нулю.
Пример: Найти площадь треугольника, образованного векторами \(\vec{a} , \vec{b} \), если \(|\vec{a}|=2\sqrt{2} , |\vec{b}|=1, \phi=\frac{\pi}{4} \).
Решение: Площадь такого треугольника будет равно ровно половине площади параллелограмма \(\vec{a} , \vec{b} \), поэтому формула будет иметь вид: \(S_{\delta}= \frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin (\phi)\). Подставляем данные из условия: \(S_{\delta}= \frac{1}{2}2\sqrt{2}\sin (\frac{\pi}{4}) = 1\). И раз это площадь, то размерность будет единицы в квадрате.

Основные свойства векторного произведения

Для некоторых векторов \(\vec{a} , \vec{b}, \vec{с}\) и произвольного числа , \(\lambda\) справедливы следующие законы:

  • \([\vec{a}\times \vec{a}] = 0\)
  • \([\vec{a}\times \vec{b}] = -[\vec{b}\times \vec{a}]\)
  • \([\lambda\vec{a}\times \vec{b}] = \lambda[\vec{a}\times \vec{b}], [\vec{a}\times (\lambda\vec{b})] = \lambda[\vec{a}\times \vec{b}]\)
  • \([(\vec{a}+\vec{b})\times\vec{с}] = [\vec{a}\times\vec{с}]+[\vec{b}\times\vec{с}]\)

Векторное произведение векторов заданных координатами

Дальнейшее повествование будет ориентировано на ортонормированный базис и формулы в общем виде будут не рабочими для аффинной системы координат. Формула перемножения векторов \(\vec{v}(\vec{v}_{1};\vec{v}_{2};\vec{v}_{3}), \vec{w}(\vec{w}_{1};\vec{w}_{2};\vec{w}_{3})\) в базисе \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\):
\([\vec{v}\times\vec{w}]=\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j} & \vec{k}\\ \vec{v}_{1}& \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\\ \vec{w}_{1}& \vec{w}_{2} & \vec{w}_{3} \end{vmatrix}= \vec{i}\begin{vmatrix} \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3}\\ \vec{w}_{2} & \vec{w}_{3} \end{vmatrix}+\vec{j}\begin{vmatrix} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{3}\\ \vec{w}_{1} & \vec{w}_{3} \end{vmatrix}+\vec{k}\begin{vmatrix} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2}\\ \vec{w}_{1} & \vec{w}_{2} \end{vmatrix}\). По свойствам определителя, вторую и третью строку можно поменять местами (но тогда определитель сменить знак!).
Пример: Найти векторное произведение \(\vec{a}(-1; 2 -3) , \vec{b}(0;-4;1) \) и его длину.
Решение: Сперва найдем векторное произведение: \([\vec{v}\times\vec{w}]=\begin{vmatrix} \vec{i}& \vec{j} & \vec{k}\\ -1& 2 & -3\\ 0& -4 & 1 \end{vmatrix} =-10\vec{i}+1\vec{j}+4\vec{k} \Rightarrow \vec{N}(-10\vec{i},1\vec{j},4\vec{k})\). Далее используем формулу из урока Векторы для начинающих: \(|\vec{N}|=\sqrt{(-10)^{2}+1^{2}+4^{2}}=3\sqrt{13}\).

Смешанное произведение векторов

Сформулируем определение: Смешанное произведение векторов - это произведение трех некомпланарных векторов \((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) \) , взятых в определенном порядке, называется объем параллелепипеда, построенного на заданных векторах. Имеет знак "+", если правосторонняя ориентация пространства и знак "-" в ином случае. Обозначается: \((\vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \vec{c}) \). Заметим, что в задаче нахождения объема параллелепипеда, результат смешанного произведения берется с модулем, который "съедает" возможный минус, поскольку объем не может быть отрицательным. Стоит отдельно упомянуть случай, когда вектора \((\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) \) компланарны. В этом случае параллелепипед превращается в плоскость, а площадь такого вырожденного параллелепипеда равна нулю.

Смешанное произведение векторов заданных через координаты

Смешанное произведение векторов \(\vec{v}(\vec{v}_{1};\vec{v}_{2};\vec{v}_{3}), \vec{w}(\vec{w}_{1};\vec{w}_{2};\vec{w}_{3}), \vec{s}(\vec{s}_{1};\vec{s}_{2};\vec{s}_{3})\) в базисе \((\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) правостороннего пространства: \( \vec{p}= (\vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \vec{c}) =[\vec{v}\times\vec{w}]=\begin{vmatrix} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \\ \vec{w}_{1} & \vec{w}_{2} & \vec{w}_{3} \\ \vec{s}_{1} & \vec{s}_{2} & \vec{s}_{3} \\ \end{vmatrix}\). Отметим, что последовательность векторов играет роль. Если поменять местами два вектора, то поменяются и строки определителя матрицы, а следовательно определитель поменяет знак.
Пример: Есть два вектора \(\vec{a}(1; -1; 2), \vec{b}(0; 4; 3), \vec{c}(3; 2; -6)\). Требуется найти: смешанное произведение и площадь тетраэдра, построенного на вышеперечисленных векторах.
Решение: Считаем определитель по формуле: \( \vec{p}= (\vec{a}\cdot \vec{b}\cdot \vec{c}) =[\vec{v}\times\vec{w}]=\begin{vmatrix} 1& -1& 2 \\ 0& 4& 3 \\ 3& 2& -6 \\ \end{vmatrix} = -63\). По определению, объем тетраэдра является \(\frac{1}{6}\) частью объема параллелепипеда, поэтому имеем формулу: \( \vec{p}= \frac{1}{6}|\vec{p}| = 10\frac{1}{2}\).

Это все, следующие уроки будут посвящены отрезкам и плоскостям (см. Уравнение прямой на плоскости).

Нет комментариев



ru |  en