Список статей

Мы в социальных сетях

       

Как вычислить определитель матрицы?

Очень часто при решении задач линейной алгебры, аналитической геометрии, математическом анализе необходимо вычислить определитель матрицы. Что такое матрицы и с чем их едят было рассмотрено в предыдущем уроке: Матрицы для начинающих. На вычислении определителя построен метод решения систем уравнений Крамера. Определитель (или детерминант) матрицы – одна из основных численных характеристик квадратной матрицы, применяемая при решении многих задач. Определитель обычно обозначается \(det(A), |A|\) или \(\Delta(A)\).

Итак, определитель можно вычислить только для квадратной матрицы.

Свойства определителя матрицы

  1. Определитель единичной матрицы равен единице: \(det(E) = 1\)
  2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.
  3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.
  4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.
  5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцов) матрицы линейно зависимы.
  6. При транспонировании матрицы, значение определителя не меняется: \(det(A) = det(A^{T})\)
  7. Определитель обратной матрицы: \(det(A^{-1}) = det(A)^{-1}\)
  8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.
  9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).
  10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.
  11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя.
  12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени: \(B = k\cdot A   \Rightarrow   det(B) = k^{n}·det(A)\), где \(A\) матрица \(n\times n, k\) – число.
  13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем.
  14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.
  15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц: \(det(A\cdot B) = det(A)\cdot det(B)\)

Методы вычисления определителя матрицы

1. Рассмотрим определитель «два на два»:

$$\begin{vmatrix}a & c\\ b & d \end{vmatrix}=ad-bc$$

 Значение определителя равно разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Пример: $$\begin{vmatrix}11 & -3\\ -15 & -2 \end{vmatrix}=11(-2)-(-15)(-3)=-22-45=-67$$

2. Определитель матрицы "три на три"

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть несколькими  способами. Рассмотрим самые простые из них.

а) Правило треугольника

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

$$\begin{vmatrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\a_{3} & b_{3} & c_{3}\end{vmatrix}=a_{1}b_{2}c_{3}+a_{3}b_{1}c_{2}+a_{2}b_{3}c_{1}-a_{3}b_{2}c_{1}-a_{1}b_{3}c_{2}-a_{2}b_{1}c_{3}$$

Для матрицы 3×3 значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

Пример:

$$\begin{vmatrix}1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\-7 & 8 & 9\end{vmatrix}=1 \cdot 0 \cdot 9 + (-7) \cdot(-2) \cdot6 + 4 \cdot 8 \cdot 3-(-7) \cdot0 \cdot3-1 \cdot8 \cdot6-4 \cdot(-2) \cdot(-9)=0+84+96-0-48+72=204$$

б) Метод Саррюса или способ "параллельных полосок"

Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии: Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс». Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

$$\begin{vmatrix}1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\-7 & 8 & 9\end{vmatrix}\begin{matrix}1 & -2 \\4 & 0\\-7& 8\end{matrix}=$$

$$1 \cdot 0 \cdot 9 + (-2)\cdot6\cdot(-7)+ 3 \cdot 4\cdot 8-3 \cdot0 \cdot(-7)-1 \cdot6 \cdot8-(-2)  \cdot 4\cdot 9=$$

$$0+84+96-0-48+72=204$$

в) Разложение определителя по строке или столбцу.

У определителя "три на три" три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. При разложении определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов. 

Пример: Раскроем  определитель по первой строке.

$$\begin{vmatrix}1 & -2 & 3 \\ 4 & 0 & 6 \\-7 & 8 & 9\end{vmatrix}=$$

$$+1\begin{vmatrix} 0 & 6\\  8& 9\end{vmatrix}-(-2)\begin{vmatrix}4 & 6\\  -7& 9\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}4 & 0\\  -7&8\end{vmatrix}=$$

$$(0\cdot 9 - 8\cdot 6)+2 \cdot(4 \cdot9 - (-7)\cdot 6)+3(4\cdot 8 - (-7)\cdot0)=$$$$-48+156+96=204$$

Итак, определитель "три на три" сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, миноров.  Рекомендуется запомнить этот термин, пригодится в дальнейшем. Тем более, он легко запоминается: минор – маленький. Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым. Определители матриц четвертого и высших порядков порядка высчитывается аналогично.

Следующая тема посвящена понятию обратной матрицы.

 

Нет комментариев



ru |  en