Список статей

Мы в социальных сетях

       

Примеры решений задач с прямой на плоскости

Взаимное расположение прямых на плоскости

Две прямые, заданные общим уравнением  \(a: A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0, b:  A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\) могут:

  • совпадать, когда соответствующие коэффициенты пропорциональны: \(A_{1}=\lambda A_{2}, B_{1}=\lambda B_{2}, C_{1}=\lambda C_{2}\)
  • быть параллельными \(a\parallel b\): \(A_{1}=\lambda A_{2}, B_{1}=\lambda B_{2}, C_{1} \neq \lambda C_{2}\)
  • пересекаться \(a\perp b\): \(A_{1}\neq\lambda A_{2}, B_{1}\neq\lambda B_{2}\)

Составить уравнение прямой, параллельной заданной

Пусть задана прямая \(a: 3x-y+2=0\) и точка \(M(1; 2)\). Требуется найти прямую  \(b\), параллельную \(a\). Поскольку прямые должны быть параллельны, направляющий вектор прямой \(a\) имеет то же направление что и у \(b\). Направляющий вектор \(a\) легко "вытащить" из уравнения прямой: \(\vec{n}(-1; 3)\). Теперь с помощью заданной точки и найденного вектора строим общее уравнение \(b\): \(\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{3} \Rightarrow 3x+y-5=0\).

Определить точку пересечения двух прямых

Пусть заданы две прямые \(a: 3x-y+2=0, a: 2x+y-1=0\). Требуется найти точку пересечения прямых \(M(x_{0}; y_{0})\). Решение простое: составим систему уравнений из общих уравнений прямых: \(\left\{\begin{matrix}A_{1}x+B_{1}x+C_{1}=0\\ A_{2}x+B_{2}x+C_{2}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}3x-y+2=0\\2x+y-1=0\end{matrix}\right.\). Система решается тривиально: \(\left\{\begin{matrix}x=-\frac{1}{5}\\ y=\frac{7}{5}\end{matrix}\right.\).

Перпендикулярные прямые. Расстояние от точки до прямой. Угол между прямыми

Составить уравнение прямой, перпендикулярной заданной прямой

Пусть исходная прямая \(a\) задана уравнением \(x+3y+1=0\) и дана произвольная точка \(M(3; 2)\), не лежащая на прямой. Требуется найти прямую (\b\), перпендикулярную \(a\). Решение заключается в следующем: находим вектор нормали \(\vec{n}\) для прямой \(a\), который будет направляющим вектором для \(b\). По формуле \(\frac{x-x_{0}}{n_{0}}=\frac{y-y_{0}}{n_{1}}\) находим уравнение прямой. Вектор \(\vec{n}(1; 3)\) известен из уравнения \(a\), точка \(M(3; 2)\) задана. Подставляем данные в формулу: \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-2}{3} \Rightarrow y=3x-7\).

Найти расстояние от точки до прямой

Уточним, что расстояние от точки до прямой - это длинна перпендикулярного отрезка. Это расстояние обозначается \(\rho(X, d) \) (в скобках указываются точка и прямая между которыми проходит отрезок расстояния). Расстояние точки \(M(x_{0}; y_{0})\) до прямой \(a: Ax+By+C=0\) будет равняться \(\rho(M, a)=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\).

Построить точку, симметричную относительно заданной прямой

Требуется найти точку \(N\), симметричную точке \(M(2; 2)\) относительно прямой \(a: 3x-y+2=0\).

1) найдем прямую \(MN\), перпендикулярную \(a\): \(\vec{n}(3; -1), \frac{x-2}{3}=\frac{y-2}{-1} \Rightarrow y=\frac{2-x}{3}+2\).

2) найдем точку пересечения прямых \(a\) и \(MN\): \(\left\{\begin{matrix}y=3x+2\\ y=\frac{2-x}{3}+2\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x=\frac{1}{5}\\ \frac{13}{5}\end{matrix}\right.\Rightarrow S(\frac{1}{5}, \frac{13}{5})\).

3) точка пересечения прямых \(S\) является так же срединой отрезка \(MN\). По формулам нахождения середины отрезка находим \(N\): \(\frac{1}{5}=\frac{2+x}{2}, \frac{13}{5}=\frac{2+y}{2}\Rightarrow N(-\frac{8}{5}; \frac{16}{5})\).

Примеры решений задач, нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми

Под углом между двумя прямыми подразумевается меньший угол, следовательно он не может быть тупым. Знак угла не обязательно положительный, он зависит от ориентации. Против часовой со знаком "+", иначе "-".

Пример: Пусть заданы две прямые в общем виде: \(a: A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0, b:  A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\). Требуется найти угол \(\phi\) между ними.

Решение: Если векторы не перпендикулярны, угол \(\phi\)  находится по следующей формуле: \(\tan(\phi)=\frac{\Delta}{A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}}\), где \(\Delta=\begin{vmatrix}A_{1}&A_{2}\\B_{1}&B_{2} \end{vmatrix}\). Имея тангенс угла легко найти сам угол используя обратную тригонометрическую функцию:\(\phi=\arctan(\tan(\phi))\). Обратите внимание, знаменатель является скалярным произведением направляющих векторов данных прямых.

Если прямые заданны через угловые коэффициенты: \(a: y=k_{1}x+b_{1}, b:   y=k_{2}x+b_{2}\) и не являются перпендикулярными, то угол \(\phi\) можно найти по формуле: \(\tan(\phi)=\frac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}\). Если хотя бы одна прямая параллельна оси \(OY\), формула не применима.

Следующий урок будет посвящен понятию алгебраической линии высших порядков и эллипсу.

Нет комментариев



ru |  en