Список статей

Мы в социальных сетях

       

Замечательные пределы

Первый замечательный предел

Обратите внимание, что \(x\) может быть и некоторой сложной функцией \(u(x) \to 0\), главное что бы она стремилась нулю.

$$\lim_{ x\to 0} \dfrac{\sin(x)}{x} = 1$$

Отметим, что дробь может быть перевернутой, т.е. \(\lim_{ x\to 0} \dfrac{x}{\sin(x)} = 1\), то же самое касается следствий, описаных ниже.

Следствия первого замечательного предела:

  1. \(\lim_{ x\to 0} \dfrac{tg(x)}{x} = 1\)
  2. \(\lim_{ x\to 0} \dfrac{arcsin(x)}{x} = 1\)
  3. \(\lim_{ x\to 0} \dfrac{arctg(x)}{x} = 1\)

Второй замечательный предел

$$\lim_{ x\to +\infty} \left (1+\dfrac{1}{x}  \right)^{x}=e,$$

где \(e\) — экспонента (или число Эйлера, приблизительно равное 2,7182818284...).

Второй вариант второго замечательного предела:

$$\lim_{ x\to 0} \left (1+x\right)^{\frac{1}{x}} =e$$

На практике часто встречаются примеры, где \(x\) стремится произвольному числу \(k\), тогда неопределенность вида \(1^{\infty}\) удобно раскрывать с помощью следствия из рассмотренного второго замечательного предела:

$$ \lim_{ x\to k} u(x)^{v(x)} =e^{\lim_{x\to k} [(u(x)-1)\cdot v(x)]} $$

Следствия второго замечательного предела:

  1. \(\lim_{ x\to 0} \dfrac{\log_{a}(1+x)}{x}=\dfrac{1}{\ln(a)}\)
  2. \(\lim_{ x\to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\)
  3. \(\lim_{ x\to 0} \dfrac{a^{x}-1}{x}=\ln(a)\)
  4. \(\lim_{ x\to 0} \dfrac{e^{x}-1}{x}=1\)
  5. \(\lim_{ x\to 0} \dfrac{(1+x)^{m}-1}{x}=m\) 

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций (при \( x\to 0\))

  1. \(\sin(x) \sim x\)
  2. \(tg(x) \sim x\)
  3. \(arcsin(x) \sim x\)
  4. \(arctg(x) \sim x\)
  5. \(\ln(1 + x) \sim x\)
  6. \(e^{x} - 1 \sim x\)

Нет комментариев



ru |  en